Un número de Fermat es un número positivo especial que lleva el nombre del matemático Pierre de Fermat. Los números de Fermat están dados por la fórmula
F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{overset {n}}+1} 
donde n es un número entero no negativo. De forma explícita:
- Fn = 22n + 1.
Primeros ejemplos
Los nueve primeros números de Fermat (secuencia A000215 en la OEIS) son:
F0 = 2 1+ 1 = 3
F1 = 2 2+ 1 = 5
F2 = 2 4+ 1 = 17
F3 = 2 8+ 1 = 257
F4 = 2 16+ 1 = 65537
F5 = 2 32+ 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 2 64+ 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2 128+ 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2 256+ 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
Factorizaciones y estado actual
Muchos números de Fermat son compuestos; por ejemplo F5 es divisible por 641. Desde 2007 se han factorizado completamente los 12 primeros números de Fermat (es decir, F0 hasta F11), y las factorizaciones completas pueden consultarse en listados especializados como "Prime Factors of Fermat Numbers". Para índices mayores la factorización completa es en general un problema muy difícil debido al crecimiento exponencial del tamaño de los números.
Propiedades importantes
- Relativamente primos entre sí: cualquier par distinto de números de Fermat es coprimo. En particular, para todo n se cumple la identidad F0 F1 … Fn−1 = Fn − 2, lo que implica que no comparten factores primos.
- Crecimiento muy rápido: el número de dígitos de Fn crece doblemente exponencialmente en n (porque la potencia es 2n).
Primos de Fermat y criterios de primalidad
Si 2m + 1 es primo y m > 0, entonces m debe ser potencia de dos. Por eso cualquier primo de la forma 22n + 1 es un número de Fermat; a estos primos se les llama primos de Fermat. Hasta la fecha, los únicos primos de Fermat conocidos son F0, F1, F2, F3 y F4 (3, 5, 17, 257 y 65537). Todos los números de Fermat con 5 ≤ n ≤ 11 son compuestos, y para n ≥ 5 no se conoce ningún otro primo de Fermat.
Existe una prueba práctica de primalidad específica para estos números conocida como la prueba de Pépin: para n ≥ 1, Fn es primo si y solo si 3(Fn−1)/2 ≡ −1 (mod Fn). Esta prueba es eficiente en comparación con pruebas generales cuando se trabaja con los números tan especiales que son los Fn, aunque el tamaño de Fn hace que los cálculos sean costosos para n grandes.
Aplicaciones y problemas abiertos
- Construcción de polígonos regulares: Carl Friedrich Gauss mostró que un polígono regular de N lados es construible con regla y compás si y sólo si N es de la forma 2k·p1·…·pr, donde las pi son primos distintos de Fermat. Por tanto, la existencia de primos de Fermat tiene implicaciones directas en qué polígonos regulares son construibles.
- Problemas abiertos: se desconoce si existen infinitos primos de Fermat o si hay algún otro primo de Fermat con índice n ≥ 5. También es un reto para la teoría y la computación encontrar factorizaciones completas de Fn para índices más grandes.
En resumen, los números de Fermat son una familia matemática clásica con propiedades aritméticas muy interesantes, relevancia histórica (en teoría de números y geometría constructiva) y todavía muchos problemas abiertos que motivan la investigación contemporánea.
