Número de Fermat

Un número de Fermat es un número positivo especial. Los números de Fermat llevan el nombre de Pierre de Fermat. La fórmula que los genera es

F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{overset {n}}+1} {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}

donde n es un número entero no negativo. Los nueve primeros números de Fermat son (secuencia A000215 en la OEIS):

F0 = 2 1+ 1 = 3

F1 = 2 2+ 1 = 5

F2 = 2 4+ 1 = 17

F3 = 2 8+ 1 = 257

F4 = 2 16+ 1 = 65537

F5 = 2 32+ 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = 2 64+ 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = 2 128+ 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = 2 256+ 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Desde 2007, sólo se han factorizado completamente los 12 primeros números de Fermat. (escritos como producto de números primos) Estas factorizaciones se pueden encontrar en Prime Factors of Fermat Numbers.

Si 2n + 1 es primo, y n > 0, se puede demostrar que n debe ser una potencia de dos. Todo primo de la forma 2nes un número de Fermat, y tales primos se llaman primos de Fermat. Los únicos primos de Fermat conocidos son F 0,...,F 4.

Cosas interesantes sobre los números de Fermat

  • No hay dos números de Fermat que tengan divisores comunes.
  • Los números de Fermat se pueden calcular de forma recursiva: Para obtener el número N, multiplique todos los números de Fermat anteriores a él y sume dos al resultado.

Para qué se utilizan

En la actualidad, los números de Fermat pueden utilizarse para generar números aleatorios, entre 0 y algún valor N, que es una potencia de 2.

Conjetura de Fermat

Fermat, cuando estudiaba estos números, conjeturó que todos los números de Fermat eran primos. Leonhard Euler demostró que era errónea, al factorizar F 5 {\displaystyle F_{5}} {\displaystyle F_{5}}en 1732.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es un número de Fermat?


R: Un número de Fermat es un número positivo especial que debe su nombre a Pierre de Fermat. Se genera mediante la fórmula F_n = 2^2^(n) + 1, donde n es un número entero no negativo.

P: ¿Cuántos números de Fermat existen?


R: A fecha de 2007, sólo los 12 primeros números de Fermat han sido completamente factorizados.

P: ¿Cuáles son los nueve primeros números de Fermat?


A: Los nueve primeros números de Fermat son F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), y F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

P: ¿Qué se puede decir de los números primos de la forma 2n + 1?


R: Si 2n + 1 es primo y n > 0 entonces se puede demostrar que n debe ser una potencia de dos. Todo primo de la forma 2n + 1 es también un número de Fermat y tales primos se denominan primos de Fermat. Los únicos primos de Fermat conocidos son los comprendidos entre 0 y 4.

P: ¿Dónde se pueden encontrar las factorizaciones de los 12 números deFermat factorizados conocidos?


R: Puede encontrar las factorizaciones de los 12 números de Fermat factorizados conocidos en Factores primos de los números de Fermat.

P: ¿Quién fue Pierre de Fermaat?


R: Pierre de Fermaat fue un influyente matemático francés que vivió en el siglo XVII y cuyo trabajo sentó gran parte de las bases de las matemáticas modernas. Es más conocido por sus contribuciones a la teoría de la probabilidad y a la geometría analítica, así como por su famoso Último Teorema, que permaneció sin resolver hasta 1995, cuando fue finalmente demostrado por Andrew Wiles utilizando métodos de la geometría algebraica.

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