Unidad imaginaria | un valor numérico que sólo existe fuera de los números reales

En matemáticas, la unidad imaginaria o i {\displaystyle i} $i$ , es un valor numérico que sólo existe fuera de los números reales y se utiliza en el álgebra. Cuando multiplicamos la unidad imaginaria por un número real, llamamos al resultado número imaginario. Aunque los números imaginarios pueden utilizarse para resolver muchos problemas matemáticos, no pueden representarse con una cantidad de objetos de la vida real.

Historia

Las unidades imaginarias se inventaron para responder a la ecuación polinómica x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , que normalmente no tiene solución (véase más adelante). El término "imaginario" procede de René Descartes y pretendía ser un insulto ya que, al igual que el cero y los números negativos en otros momentos de la historia, se pensaba que los números imaginarios eran inútiles por no ser naturales. No fue hasta siglos posteriores que el trabajo de matemáticos como Leonhard Euler, Augustin-Louis Cauchy y Carl Friedrich Gauss demostraría que los números imaginarios eran muy importantes para algunas áreas del álgebra.

Definición

Una regla común para multiplicar y dividir números es que si los signos son diferentes, el resultado es negativo (por ejemplo, 4 × - 3 = - 12 {\displaystyle 4\times -3=-12} $4\times -3=-12$ ), pero si ambos números tienen el mismo signo, el resultado será positivo (por ejemplo, 5 × 6 = 30 {\displaystyle 5\times 6=30} $5\times 6=30$ y - 10 × - 10 = 100 {\displaystyle -10\times -10=100} $-10\times -10=100$ ). Sin embargo, esto conduce a problemas con los números de raíz cuadrada de los negativos, ya que dos números negativos siempre harán un número positivo:

2 × 2 = 2 2 = 4 {\diseño de 2 veces 2=2^{2}=4} $2\times 2=2^{2}=4$

por lo que 4 = 2 {{sqrt {4}}=2} ${\sqrt {4}}=2$

pero - 4 ≠ - 2 {\displaystyle {\sqrt {-4}\neq -2} ${\sqrt {-4}}\neq -2$

as - 2 × - 2 = ( - 2 ) 2 = 4 {\displaystyle -2\times -2=(-2)^{2}=4} $-2\times -2=(-2)^{2}=4$

Para rellenar este hueco de valor se hizo la unidad imaginaria, que se define como i = - 1 {\displaystyle i={sqrt {-1}} $i={\sqrt {-1}}$ y i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ . Utilizando números imaginarios podemos resolver nuestro último ejemplo:

2 i × 2 i = 4 i 2 = - 4 {\desde el punto de vista de los tiempos 2i=4i^{2}=-4} $2i\times 2i=4i^{2}=-4$

- 2 i × - 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle -2i\times -2i=4i^{2}=-4} $-2i\times -2i=4i^{2}=-4$

4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} ${\sqrt {4}}=2$ y - 4 = 2 i {\displaystyle {\sqrt {-4}}=2i} ${\sqrt {-4}}=2i$

Raíz cuadrada de i

Aunque la unidad imaginaria procede de la resolución de una ecuación cuadrática (una ecuación en la que la incógnita aparece elevada al cuadrado), podríamos preguntarnos si necesitamos crear nuevos valores numéricos como la unidad imaginaria para resolver ecuaciones en las que aparecen potencias mayores de x {\displaystyle x} como x 3 {\displaystyle x^{3} $x^{3}$ y x 4 {\displaystyle x^{4}} $x^{4}$ . Por ejemplo, la ecuación x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ tiene una cuarta potencia de la variable desconocida x {\displaystyle x} . ¿Necesitamos nuevas unidades como i {\displaystyle i} $i$ para resolver esta ecuación?

También podríamos hacer una pregunta similar: ¿necesitamos crear un nuevo número para encontrar la raíz cuadrada de -1, y llamamos a este nuevo número i {\displaystyle i} $i$ . ¿Necesitamos crear un nuevo número para encontrar la(s) raíz(es) cuadrada(s) de i {\displaystyle i} ? $i$

Resulta que la respuesta a estas dos preguntas es no. Para la segunda pregunta, las raíces cuadradas de i {\displaystyle i} $i$ pueden escribirse en términos de una parte real y una parte imaginaria. En concreto, las raíces cuadradas de i {\displaystyle i} $i$ pueden escribirse como ± i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}{2}(1+i)} $\pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ . Podemos comprobar que son realmente las raíces cuadradas de i {\displaystyle i} $i$ elevando al cuadrado y viendo si obtenemos i {\displaystyle i} $i$ :

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\frac {\sqrt {2}}{2}(1+i)\right)^{2} { {\i} $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2} {2}right)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{{frac {2}{4}(1+i)(1+i)\} $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)} $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={frac {1}{2}}(2i)} $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

También podemos observar que ( ± i ) 4 = ( i ) 2 = - 1 {\displaystyle (\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1} $(\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1$ , por lo que ± i {displaystyle \pm {\sqrt {i}} $\pm {\sqrt {i}}$ resuelve la ecuación x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ , respondiendo parcialmente a nuestra primera pregunta - para la ecuación x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ , las soluciones siguen siendo números complejos (el resultado de sumar un número real y un número imaginario). Hay dos soluciones más para esta ecuación particular, x = ± 2 2 ( 1 - i ) {\displaystyle x=\pm {\frac {\sqrt {2}{2}(1-i)} $x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i)$ , y también son números complejos. No se necesitan nuevos números como la unidad imaginaria para resolver la ecuación.

En general, toda ecuación en la que la incógnita aparece con potencias de números enteros puede resolverse mediante números complejos, por lo que una vez que conocemos la unidad imaginaria, podemos resolver cualquier ecuación de esta forma. Este resultado es tan importante que se llama teorema fundamental del álgebra.

Potencias de i

Las potencias de i {\displaystyle i} $i$ o i {\displaystyle i} $i$ siguen un patrón regular y predecible:

i - 4 = 1 {\displaystyle i^{-4}=1} $i^{-4}=1$

i - 3 = i {\\N-estilo de la pantalla i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\\Ndice i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

i 7 = - i {\displaystyle i^{7}=-i} $i^{7}=-i$

Como se muestra, cada vez que multiplicamos por otro i {\displaystyle i} $i$ los valores son 1 , i , - 1 , - i {\displaystyle 1,i,-1,-i} $1,i,-1,-i$ y luego se repite.

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Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la unidad imaginaria?

R: La unidad imaginaria es un valor numérico que sólo existe fuera de los números reales y se utiliza en el álgebra.

P: ¿Cómo utilizamos la unidad imaginaria?

R: Multiplicamos la unidad imaginaria por un número real para crear un número imaginario.

P: ¿Para qué se utilizan los números imaginarios?

R: Los números imaginarios se pueden utilizar para resolver muchos problemas matemáticos.

P: ¿Podemos representar un número imaginario con objetos de la vida real?

R: No, no podemos representar un número imaginario con objetos de la vida real.

P: ¿De dónde procede la unidad imaginaria?

R: La unidad imaginaria procede de las matemáticas y el álgebra.

P: ¿La unidad imaginaria forma parte de los números reales?

R: No, existe fuera del ámbito de los números reales.

P: ¿Cómo se calcula un número imaginario? R: Se calcula un número imaginario multiplicando un número real por la unidad imaginaria.