Identidad de Euler

La identidad de Euler, a veces llamada ecuación de Euler, es esta ecuación:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π {\displaystyle \pi } $\pi$ , pi

π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\displaystyle e} $e$ Número de Euler

e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ , unidad imaginaria

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

La identidad de Euler debe su nombre al matemático suizo Leonard Euler. No está claro que la inventara él mismo.

Los participantes en una encuesta de Physics World calificaron la identidad como "el enunciado matemático más profundo jamás escrito", "asombroso y sublime", "lleno de belleza cósmica" y "alucinante".

Demostración matemática de la identidad de Euler mediante la serie de Taylor

Muchas ecuaciones pueden escribirse como una serie de términos sumados. Esto se llama serie de Taylor

La función exponencial e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ puede escribirse como la serie de Taylor

¡e x = 1 + x + x 2 2 ! ¡+ x 3 3 ! ¡+ x 4 4 ! ¡⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} |sobre {2!}}+{x^{3} \sobre {3!}}+{x^{4} \sobre {4!}} = suma _{k=0}^ {{infty }{x^{n}} \sobre n!}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Además, el seno puede escribirse como

¡sin x = x - x 3 3 ! ¡+ x 5 5 ! - ¡- x 7 7 ! ¡⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \¡más de 3!}+{x^{5} \sobre 5!}-{x^{7} \sobre 7! = suma _{k=0}^{infty }{(-1)^{n} \sobre (2n+1)!}{x^{2n+1}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

y Coseno como

¡cos x = 1 - x 2 2 ! ¡+ x 4 4 ! - ¡- x 6 6 ! ¡⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \¡sobre 2!}+{x^{4} \sobre 4!}-{x^{6} \sobre 6! = suma _{k=0}^{infty}{(-1)^{n} \sobre (2n)!}{x^{2n}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Aquí, vemos que un patrón toma forma. e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ parece ser una suma de series de Taylor de seno y coseno, excepto con todos los signos cambiados a positivo. La identidad que realmente estamos probando es e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

¡Por lo tanto, en el lado izquierdo es e i x {\displaystyle e^{ix}}, cuya serie de Taylor es 1 + i x - x 2 2 ! $e^{ix}$ ¡cuya serie de Taylor es 1 + i x - x 2 2 ! - ¡i x 3 3 ! ¡+ x 4 4 ! ¡+ i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \¡sobre 2!}-{ix^{3} \¡sobre 3!}+{x^{4} \sobre 4+ix^5 \¡sobre 5!} $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Podemos ver un patrón aquí, que cada segundo término es i veces términos del seno, y que los otros términos son términos del coseno.

En el lado derecho está cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)}, cuya serie de Taylor es la serie de Taylor del coseno, más i veces la serie de Taylor del seno, lo que se puede mostrar como $\cos(x)+i\sin(x)$ cuya serie de Taylor es la serie de Taylor del coseno, más i veces la serie de Taylor del seno, que se puede mostrar como:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}cdots )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

si los sumamos, tenemos

¡1 + i x - x 2 2 ! - ¡i x 3 3 ! ¡+ x 4 4 ! ¡+ i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \¡sobre 2!}-{ix^{3} \¡sobre 3!}+{x^{4} \sobre 4+ix^5 \¡sobre 5!} $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Por lo tanto:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Ahora bien, si sustituimos x por π {\displaystyle \pi } $\pi$ Tenemos...

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=cos(\pi )+i\sin(\pi )} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Entonces sabemos que

cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Por lo tanto:

e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la identidad de Euler?

R: La identidad de Euler, a veces llamada ecuación de Euler, es una ecuación que presenta las constantes matemáticas pi, el número de Euler y la unidad imaginaria junto con tres de las operaciones matemáticas básicas (suma, multiplicación y exponenciación). La ecuación es e^(i*pi) + 1 = 0.

P: ¿Quién era Leonard Euler?

R: Leonard Euler fue un matemático suizo que da nombre a la identidad. No está claro si la inventó él mismo.

P: ¿Cuáles son algunas de las reacciones a la identidad de Euler?

R: Los participantes en una encuesta de Physics World calificaron la identidad como "la afirmación matemática más profunda jamás escrita", "asombrosa y sublime", "llena de belleza cósmica" y "alucinante".

P: ¿Cuáles son algunas de las constantes que aparecen en esta ecuación?

R: Las constantes que aparecen en esta ecuación son pi (aproximadamente 3,14159), el número de Euler (aproximadamente 2,71828) y una unidad imaginaria (igual a -1).

P: ¿Cuáles son algunas de las operaciones que aparecen en esta ecuación?

R: Las operaciones que aparecen en esta ecuación son la suma, la multiplicación y la exponenciación.

P: ¿Cómo podemos expresar pi matemáticamente?

R: Pi se puede expresar matemáticamente como π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \approx 3,14159}.

P: ¿Cómo podemos expresar matemáticamente el Número de Euler? R:El Número de Euler se puede expresar matemáticamente como e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\approx 2,71828}.