Serie de Taylor

Una serie de Taylor es una idea que se utiliza en informática, cálculo, química, física y otros tipos de matemáticas de nivel superior. Es una serie que se utiliza para crear una estimación (conjetura) de cómo es una función. También existe un tipo especial de serie de Taylor llamada serie de Maclaurin.

La teoría que subyace a la serie de Taylor es que si se elige un punto en el plano de coordenadas (ejes x e y), es posible adivinar cómo será una función en el área que rodea a ese punto. Esto se hace tomando las derivadas de la función y sumándolas todas. La idea es que es posible sumar el número infinito de derivadas y llegar a una única suma finita.

En matemáticas, una serie de Taylor muestra una función como la suma de una serie infinita. Los términos de la suma se toman de las derivadas de la función. Las series de Taylor provienen del teorema de Taylor.

Historia

El filósofo de la antigua Grecia Zenón de Elea fue el primero que tuvo la idea de esta serie. La paradoja llamada "parodia de Zenón" el resultado. Creía que era imposible sumar un número infinito de valores y obtener como resultado un único valor finito.

Otro filósofo griego, Aristóteles, dio una respuesta a la cuestión filosófica. Sin embargo, fue Arquímedes quien aportó una solución matemática utilizando su método de agotamiento. Consiguió demostrar que cuando algo se divide en un número infinito de trozos diminutos, éstos seguirán sumando un único conjunto cuando se vuelvan a sumar. El antiguo matemático chino Liu Hui demostró lo mismo varios cientos de años después.

Los primeros ejemplos conocidos de la serie de Taylor son los trabajos de Mādhava de Sañgamāgrama en la India en el año 1300. Los matemáticos indios posteriores escribieron sobre su trabajo con las funciones trigonométricas de seno, coseno, tangente y arctangente. Hoy en día no existe ningún escrito o registro de Mādhava. Otros matemáticos se basaron en los descubrimientos de Mādhava y trabajaron más con estas series hasta el año 1500.

James Gregory, un matemático escocés, trabajó en este campo en la década de 1600. Gregory estudió las series de Taylor y publicó varias series de Maclaurin. En 1715, Brook Taylor descubrió un método general para aplicar la serie a todas las funciones. (Todas las investigaciones anteriores mostraban cómo aplicar el método sólo a funciones específicas). Colin Maclaurin publicó un caso especial de la serie de Taylor en la década de 1700. Esta serie, que se basa en el cero, se llama serie de Maclaurin.

Definición

Una serie de Taylor puede utilizarse para describir cualquier función ƒ(x) que sea una función suave (o, en términos matemáticos, "infinitamente diferenciable"). La serie de Taylor se utiliza entonces para describir el aspecto de la función en la vecindad de algún número a.

Esta serie de Taylor, escrita como una serie de potencias, parece:

¡f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ¡( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ¡( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . } $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

Esta fórmula también se puede escribir en notación sigma como

¡∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \\\Nsum _{n=0}^\\Ninfty }{frac {f^(n)}(a)}{n!}},(x-a)^{n} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

Aquí n! es el factorial de n. ƒ⁽ⁿ⁾ (a) es la enésima derivada de ƒ en el punto a. a {\displaystyle a} es un número en el dominio de la función. Si la serie de Taylor de una función es igual a esa función, la función se llama "función analítica".

Serie Maclaurin

Cuando a = 0 {\displaystyle a=0} $a=0$ la función se llama serie de Maclaurin. La serie de Maclaurin escrita como una serie de potencias tiene el siguiente aspecto:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f'(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^(3)}(0)}{3!}}+\cdots . } $f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .$

Cuando se escribe en notación sigma, la serie de Maclaurin es:

¡∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \\\Nsum _{n=0}^\\Ninfty }{frac {f^{(n)}(0)}{n!}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}$

Imágenes principales

Algunas series importantes de Taylor y Maclaurin son las siguientes.

¡sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! ¡x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! ¡+ x 5 5 ! - ⋯ para todo x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^3}{3!}+{\frac {x^{5}{5!}}-\cdots {\text{ para todo}{x\! } $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

¡cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! ¡x 2 n = 1 - x 2 2 ! ¡+ x 4 4 ! - ⋯ para todo x {\displaystyle \cos x={suma _{n=0}^{infty}}{{{1)^{n}}{2n}!}}x^{2n}=1-{{frac {x^{2}}{2!}}+{{frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ para todo}{x}} } $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

¡sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 para todo x {\displaystyle \sinh(x)={suma _{n=0}^{{infty }{{frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{text{ para todo}{x}} } $\sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!$

¡cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n para todo x {\displaystyle \cosh(x)={suma _{n=0}^{\infty }{{frac {1}(2n)!}}x^{{2n}{texto{ para todo}{x! } $\cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!$

¡e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ para todo x {\displaystyle e^{x}=suma _{n=0}^{\infty}{frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ para todo}}{x! } $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!$

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ para todo | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}= suma _{n=0}^\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{4}+\cdots {\text{ para todo }|x|<1} ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1$

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n para todo | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{frac {(-1)^{n+1}{}x^{n}{text{ para todo }|x|<1} $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1$

¡tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! ¡x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ para | x | < π 2 {\displaystyle \tan x={suma _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}+{{\frac {2x^{5}}{15}}+{\cdots {\text{para}}|x|<{\frac {\pi }{2}}} } $\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Donde B n {\displaystyle B_{n}} $B_{n}$ es el enésimo número de Bernoulli, y ln {\displaystyle \ln } $\ln$ es el logaritmo natural.

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{[96606-96606]}]

Una animación que muestra cómo se puede utilizar una serie de Taylor para aproximar una función. La línea azul muestra la función exponencial f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}}. $f(x)=e^{x}$ . Las líneas rojas muestran la suma de n derivadas, es decir, n+1 términos de la serie de Taylor. A medida que n aumenta, la línea roja se acerca a la línea azul.