Función gamma
En matemáticas, la función gamma (Γ(z)) es una extensión de la función factorial a todos los números complejos excepto los enteros negativos. ¡Para los números enteros positivos, se define como Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! ¡{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } 
La función gamma está definida para todos los números complejos. Pero no está definida para los enteros negativos y el cero. Para un número complejo cuya parte real no es un entero negativo, la función está definida por:
La función gamma a lo largo de una parte del eje real
Propiedades
Valores particulares
Algunos valores particulares de la función gamma son:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll} {Gamma (-3/2)&={tfrac {4}{3}} {{sqrt {\pi }}&{approx 2.363271801207 {Gamma (-1/2)&=-2{cuadrado de {\pi}&aproximadamente -3.544907701811 {Gamma (1/2)&={cuadrado de {\pi}&aproximadamente 1.772453850905\\NGamma (1)&=0!&=1\NGamma (3/2)&={tfrac {1}{2}}{cuadrado {\pi}}&\Naproximadamente 0.88622692545Gamma (2)&=1!&=1Gamma (5/2)&={tfrac {3}{4}}{sqrt {\pi }}&\\aaproximadamente 1.32934038818Gamma (3)&=2!&=2Gamma (7/2)&={tfrac {15}{8}}{cuadrado de {\pi}}&\\aaproximadamente 3,32335097045\aGamma (4)&=3!&=6\a}{punto final}}. 
Función Pi
Gauss introdujo la función Pi. Esta es otra forma de denotar la función gamma. En términos de la función gamma, la función Pi es
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z;\Gamma (z)=int _{0}^\\infty }e^{t}^{z+1}\,{\frac {\rm {d}}t,} 
para que
¡Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\N-,,} 
para todo número entero no negativo n.
Aplicaciones
Teoría analítica de los números
La función gamma se utiliza para estudiar la función zeta de Riemann. Una propiedad de la función zeta de Riemann es su ecuación funcional:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } 
Bernhard Riemann encontró una relación entre estas dos funciones. Esto fue en el trabajo de 1859 "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Sobre el número de números primos menos que una cantidad dada")
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\\\N- Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}};{\frac {dt}{t}}. } 
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es la función gamma en matemáticas?
R: La función gamma es un tema clave en el campo de las funciones especiales en matemáticas.
P: ¿Cuál es la extensión de la función factorial a todos los números complejos excepto los enteros negativos?
R: La función gamma es una extensión de la función factorial a todos los números complejos excepto a los enteros negativos.
P: ¿Cómo se define la función gamma para los números enteros positivos?
R: Para números enteros positivos, la función gamma se define como Γ(n) = (n-1)!.
P: ¿Está definida la función gamma para todos los números complejos?
R: Sí, la función gamma está definida para todos los números complejos.
P: ¿Está definida la función gamma para los números enteros negativos y el cero?
R: No, la función gamma no está definida para los números enteros negativos y el cero.
P: ¿Cómo se define la función gamma para un número complejo cuya parte real no es un entero negativo?
R: La función gamma se define para un número complejo cuya parte real no es un entero negativo mediante una fórmula específica que no se da en el texto.
P: ¿Por qué es importante la función gamma en matemáticas?
R: La función gamma es importante en matemáticas porque es un tema clave en el campo de las funciones especiales y extiende la función factorial a todos los números complejos excepto a los enteros negativos.
