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Función Gamma (Γ): Definición y Extensión del Factorial a Números Complejos

Descubre la función Gamma (Γ): cómo extiende el factorial a números complejos, sus propiedades, cálculo y aplicaciones en análisis y física.

Autor: Leandro Alegsa

11-01-2026

En matemáticas, la función gamma (Γ(z)) es una extensión de la función factorial a todos los números complejos excepto los enteros negativos. ¡Para los números enteros positivos, se define como Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! ¡{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } $\Gamma (n)=(n-1)!$

La función gamma está definida para todos los números complejos. Pero no está definida para los enteros negativos y el cero. Para un número complejo cuya parte real no es un entero negativo, la función está definida por:

Definición integral y continuidad analítica

Representación integral (para Re(z) > 0):
Γ(z) = ∫₀^∞ t^z−1 e^−t dt, válida cuando la parte real de z es positiva. Esta integral da la definición clásica y es la base para la extensión de Γ por continuidad analítica al plano complejo salvo en los enteros no positivos.

Propiedades básicas

Relación de recurrencia: Γ(z+1) = z Γ(z). Esta identidad es la que garantiza que Γ(n) = (n−1)! para enteros positivos n.
Continuación analítica: La integral anterior define Γ en Re(z) > 0; la relación de recurrencia permite extenderla meromorficamente al resto del plano complejo, apareciendo poles simples en z = 0, −1, −2, …
Polos y residuos: Γ tiene polos simples en los enteros no positivos. El residuo en z = −n (n = 0, 1, 2, …) es Res(Γ, z = −n) = (−1)ⁿ/n!.
No tiene ceros: Γ(z) es una función meromorfa sin ceros en todo el plano complejo.

Fórmulas fundamentales

Fórmula de reflexión (Euler):
Γ(z) Γ(1−z) = π / sin(π z). Esta identidad relaciona los valores de Γ en puntos simétricos respecto a 1/2 y es útil para evaluar valores en la mitad negativa del plano.
Producto de Weierstrass / Fórmula de Euler:
1/Γ(z) = z e^{γ z} ∏_n=1^∞ (1 + z/n) e^−z/n, donde γ es la constante de Euler–Mascheroni. Esta expresión muestra la naturaleza entera de 1/Γ y es útil en análisis complejo.
Relación con la función beta:
B(x,y) = ∫₀¹ t^x−1 (1−t)^y−1 dt = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y), para Re(x), Re(y) > 0. Esto vincula integrales de tipo Beta con la Gamma y aparece frecuentemente en estadística y teoría de probabilidades.

Valores especiales y aproximaciones

Medias enteras y semienteras: Γ(1/2) = √π; para enteros no negativos n, Γ(n + 1/2) = ( (2n)! / (4ⁿ n!) ) √π, y en particular Γ(3/2) = (1/2) √π.
Fórmula asintótica de Stirling:
Para |z| → ∞ en sectores que evitan el eje negativo, Γ(z) ~ √(2π) z^z−1/2 e^−z (1 + O(1/z)). Esta aproximación es fundamental para estimar factoriales grandes y aparece en combinatoria y física estadística.
Función digamma y poligamma:
La derivada logarítmica de Γ define la función digamma ψ(z) = Γ′(z)/Γ(z), y las derivadas superiores son las funciones poligamma. Son útiles para series, suma de potencias y en teoría de la información.

Aspecto complejo y aplicaciones

La función gamma es meromorfa en el plano complejo, con polos simples en 0, −1, −2, … y sin ceros. Gracias a su relación con la función beta y a su continuidad analítica, aparece en numerosas áreas:

Teoría de la probabilidad: definiciones y propiedades de la distribución gamma, la beta y otras distribuciones continuas.
Combinatoria y análisis asintótico: extensión del factorial a no enteros y estimaciones con la fórmula de Stirling.
Física matemática y teoría cuántica de campos: regularizaciones y constantes que involucran integrales gamma.
Análisis complejo: construcción de funciones especiales mediante productos y fórmulas funcionales.

Ejemplos rápidos

Γ(1) = 0! = 1.
Γ(4) = 3! = 6.
Γ(1/2) = √π ≈ 1.77245…
Γ(3/2) = (1/2) √π ≈ 0.88623….

En resumen, la función gamma es una extensión natural y profundamente útil del factorial al plano complejo, con ricas propiedades analíticas (recurrencia, reflexión, producto infinito, polos simples) y numerosas aplicaciones en matemáticas, estadísticas y física.

La función gamma a lo largo de una parte del eje real

Propiedades

Valores particulares

Algunos valores particulares de la función gamma son:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll} {Gamma (-3/2)&={tfrac {4}{3}} {{sqrt {\pi }}&{approx 2.363271801207 {Gamma (-1/2)&=-2{cuadrado de {\pi}&aproximadamente -3.544907701811 {Gamma (1/2)&={cuadrado de {\pi}&aproximadamente 1.772453850905\\NGamma (1)&=0!&=1\NGamma (3/2)&={tfrac {1}{2}}{cuadrado {\pi}}&\Naproximadamente 0.88622692545Gamma (2)&=1!&=1Gamma (5/2)&={tfrac {3}{4}}{sqrt {\pi }}&\\aaproximadamente 1.32934038818Gamma (3)&=2!&=2Gamma (7/2)&={tfrac {15}{8}}{cuadrado de {\pi}}&\\aaproximadamente 3,32335097045\aGamma (4)&=3!&=6\a}{punto final}}. ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Función Pi

Gauss introdujo la función Pi. Esta es otra forma de denotar la función gamma. En términos de la función gamma, la función Pi es

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z;\Gamma (z)=int _{0}^\\infty }e^{t}^{z+1}\,{\frac {\rm {d}}t,} $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

para que

¡Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\N-,,} $\Pi (n)=n!\,,$

para todo número entero no negativo n.

Aplicaciones

Teoría analítica de los números

La función gamma se utiliza para estudiar la función zeta de Riemann. Una propiedad de la función zeta de Riemann es su ecuación funcional:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Bernhard Riemann encontró una relación entre estas dos funciones. Esto fue en el trabajo de 1859 "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Sobre el número de números primos menos que una cantidad dada")

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\\\N- Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}};{\frac {dt}{t}}. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la función gamma en matemáticas?

R: La función gamma es un tema clave en el campo de las funciones especiales en matemáticas.

P: ¿Cuál es la extensión de la función factorial a todos los números complejos excepto los enteros negativos?

R: La función gamma es una extensión de la función factorial a todos los números complejos excepto a los enteros negativos.

P: ¿Cómo se define la función gamma para los números enteros positivos?

R: Para números enteros positivos, la función gamma se define como Γ(n) = (n-1)!.

P: ¿Está definida la función gamma para todos los números complejos?

R: Sí, la función gamma está definida para todos los números complejos.

P: ¿Está definida la función gamma para los números enteros negativos y el cero?

R: No, la función gamma no está definida para los números enteros negativos y el cero.

P: ¿Cómo se define la función gamma para un número complejo cuya parte real no es un entero negativo?

R: La función gamma se define para un número complejo cuya parte real no es un entero negativo mediante una fórmula específica que no se da en el texto.

P: ¿Por qué es importante la función gamma en matemáticas?

R: La función gamma es importante en matemáticas porque es un tema clave en el campo de las funciones especiales y extiende la función factorial a todos los números complejos excepto a los enteros negativos.