Función compuesta | una forma de hacer una nueva función a partir de otras dos funciones

En matemáticas, la composición de funciones es una forma de hacer una nueva función a partir de otras dos funciones mediante un proceso en cadena.

Más concretamente, dada una función f de X a Y y una función g de Y a Z, entonces la función "g compuesta con f", escrita como g ∘ f, es una función de X a Z (fíjese en que suele escribirse de forma contraria a como la gente esperaría que fuera).

El valor de f dada la entrada x se escribe como f(x). El valor de g ∘ f dada la entrada x se escribe como (g ∘ f)(x), y se define como g(f(x)).

Como ejemplo. sea f una función que duplica un número (lo multiplica por 2), y sea g una función que resta 1 a un número. Estas dos funciones pueden escribirse como

f ( x ) = 2 x {\nmuestra f(x)=2x} $f(x)=2x$

g ( x ) = x - 1 {\desde luego g(x)=x-1} $g(x)=x-1$

Aquí, g compuesta con f sería la función que duplica un número y luego le resta 1. Es decir:

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} $(g\circ f)(x)=2x-1$

Por otro lado, f compuesta con g sería la función que resta 1 a un número y luego lo duplica:

( f ∘ g ) ( x ) = 2 ( x - 1 ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=2(x-1)} $(f\circ g)(x)=2(x-1)$

La composición de funciones también puede generalizarse a las relaciones binarias, donde a veces se representa utilizando el mismo símbolo ∘ {\displaystyle \circ } $\circ$ (como en R ∘ S {\displaystyle R\circ S} $R\circ S$ ).

Propiedades

Se puede demostrar que la composición de funciones es asociativa, lo que significa que

f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

Sin embargo, la composición de funciones no es en general conmutativa, lo que significa que:

f ∘ g ≠ g ∘ f {\año f\año f\año f\año f\año f\año f\año f\año f\año f\año} $f\circ g\neq g\circ f$

Esto también puede verse en el primer ejemplo, donde (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 y (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.

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Regla de la cadena

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la composición de funciones?

R: La composición de funciones es una forma de hacer una nueva función a partir de otras dos funciones mediante un proceso en cadena.

P: ¿Cómo se escribe el valor de g compuesto con f?

R: El valor de g compuesto con f se escribe como (g ∘ f)(x), y se define como g(f(x)).

P: ¿Cuáles son algunos ejemplos de funciones?

R: Un ejemplo podría ser una función que duplica un número (lo multiplica por 2) y otra que resta 1 a un número.

P: ¿Cuál sería un ejemplo de g compuesta con f?

R: Un ejemplo de g compuesta con f sería la función que duplica un número y luego le resta 1. Es decir, (g ∘ f)(x)=2x-1.

P: ¿Cuál sería un ejemplo de f compuesta con g?

R: Un ejemplo de f compuesta con g sería la función que resta 1 a un número y luego lo duplica; es decir (f ∘ g)(x)=2(x-1).

P: ¿Se puede generalizar la composición también a las relaciones binarias?

R: Sí, la composición también puede generalizarse a las relaciones binarias, donde a veces se representa utilizando el mismo símbolo (como en R ∘ S).