En matemáticas, la composición de funciones es el proceso de formar una nueva función aplicando una función sobre el resultado de otra. Es una operación fundamental que permite encadenar transformaciones y se usa en álgebra, análisis, teoría de conjuntos y muchas otras áreas.

Definición y notación

Sea f: X → Y y sea g: Y → Z. La composición de g con f, denotada g ∘ f, es la función

g ∘ f: X → Z, definida por

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x en X.

Observación importante sobre dominios: para que g ∘ f esté bien definida, el conjunto de valores que toma f (su imagen) debe estar incluido en el dominio de g (normalmente se requiere que el codominio de f coincida o sea subconjunto del dominio de g).

Ejemplo sencillo

Sea f la función que duplica un número (lo multiplica por 2) y sea g la función que resta 1 a un número. Estas dos funciones pueden escribirse como

{\displaystyle f(x)=2x}

{\displaystyle g(x)=x-1}

Aquí, g compuesta con f es la función que duplica un número y luego le resta 1:

{\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1}

Por otro lado, f compuesta con g es la función que resta 1 y luego duplica:

{\displaystyle (f\circ g)(x)=2(x-1)}

Si tomamos, por ejemplo, x = 3:

  • (g ∘ f)(3) = 2·3 − 1 = 5.
  • (f ∘ g)(3) = 2·(3 − 1) = 4.

Esto muestra que, en general, la composición no es conmutativa: g ∘ f ≠ f ∘ g en general.

Propiedades importantes

  • Asociatividad: Si f: X → Y, g: Y → Z y h: Z → W, entonces h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f. La verificación es directa al evaluar sobre un elemento x: h((g ∘ f)(x)) = h(g(f(x))) = (h ∘ g)(f(x)).
  • Elemento identidad: Para cada conjunto X existe la función identidad id_X: X → X tal que id_X(x) = x para todo x. Para f: X → Y se cumple id_Y ∘ f = f = f ∘ id_X.
  • Inversas: Si f: X → Y es biyectiva, existe f−1: Y → X tal que f−1 ∘ f = id_X y f ∘ f−1 = id_Y.
  • Inyectividad y sobreyectividad:
    • Si f y g son inyectivas, entonces g ∘ f es inyectiva. Además, si g ∘ f es inyectiva entonces f debe ser inyectiva (la inyectividad de g no se deduce en general).
    • Si f y g son sobreyectivas, entonces g ∘ f es sobreyectiva. Además, si g ∘ f es sobreyectiva entonces g debe ser sobreyectiva (la sobreyectividad de f no se deduce en general).
    • Si f y g son biyectivas, entonces g ∘ f es biyectiva y (g ∘ f)−1 = f−1 ∘ g−1.
  • No conmutatividad en general: Como muestra el ejemplo anterior, el orden en que se aplican las funciones importa.

Composición en cálculo (regla de la cadena)

En cálculo diferencial, la composición aparece en la regla de la cadena. Si f y g son funciones diferenciables y consideramos h = f ∘ g, entonces h es diferenciable y

h'(x) = (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x).

Este resultado permite derivar funciones compuestas aplicando la derivada exterior evaluada en la interior, multiplicada por la derivada interior.

Composición de relaciones binarias

La composición puede generalizarse a relaciones binarias. Si R ⊆ A × B y S ⊆ B × C, la composición R ∘ S (a veces escrita S ∘ R según convenciones) es la relación en A × C definida por:

(a, c) ∈ S ∘ R cuando existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ S.

En muchos textos se usa el mismo símbolo ∘ {\displaystyle \circ }{\displaystyle \circ } para la composición de relaciones (por ejemplo ∘ S {\displaystyle R\circ S}{\displaystyle R\circ S} ).

Consejos sobre la notación y práctica

  • Recuerda que (g ∘ f)(x) significa aplicar primero f sobre x y luego aplicar g al resultado: g(f(x)).
  • Comprueba siempre los dominios y codominios antes de componer funciones; si no están bien alineados, la composición puede no estar definida.
  • Para demostrar propiedades como asociatividad o la existencia de inversas, trabaja evaluando la composición sobre un elemento arbitrario x y simplifica.

La composición es una herramienta elemental para construir funciones complejas a partir de otras más simples y aparece de forma natural en muchas ramas de las matemáticas. Su manejo correcto —especialmente respecto a dominios, orden y propiedades como inyectividad/sobreyectividad— es esencial para un uso riguroso.