Función constante

Propiedades básicas

Formalmente, una función constante f(x):R→R tiene la forma f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} . Normalmente escribimos y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} o simplemente y = c {\displaystyle y=c} .

• La función y=c tiene 2 variables x y у y 1 constante c. (En esta forma de la función, no vemos x, pero está ahí).

• La constante c es un número real. Antes de trabajar con una función lineal, sustituimos c por un número real.
• El dominio o la entrada de y=c es R. Por tanto, se puede introducir cualquier número real x. Sin embargo, la salida es siempre el valor c.
• El rango de y=c también es R. Sin embargo, como la salida es siempre el valor de c, el codominio es sólo c.

Ejemplo: La función y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} o simplemente y = 4 {\displaystyle y=4} es la función constante específica donde el valor de salida es c = 4 {\displaystyle c=4} . El dominio es todos los números reales ℝ. El codominio es simplemente {4}. Es decir, y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4,.... No importa qué valor de x se introduzca, la salida es "4".

• La gráfica de la función constante y = c {\displaystyle y=c} es una recta horizontal en el plano que pasa por el punto ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)} .
• Si c≠0, la función constante y=c es un polinomio en una variable x de grado cero.

• La intersección y de esta función es el punto (0,c).
• Esta función no tiene intersección x. Es decir, no tiene raíz ni cero. Nunca cruza el eje x.

• Si c=0, entonces tenemos y=0. Este es el polinomio cero o la función idénticamente cero. Todo número real x es una raíz. La gráfica de y=0 es el eje x en el plano.
• Una función constante es una función par por lo que el eje y es un eje de simetría para toda función constante.

Derivada de una función constante

En el contexto en el que se define, la derivada de una función mide la tasa de cambio de los valores de la función (salida) con respecto al cambio de los valores de entrada. Una función constante no cambia, por lo que su derivada es 0. Esto se escribe a menudo:   ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0} .

Ejemplo: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{{sqrt {2}} es una función constante. La derivada de y es la función idénticamente nula y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0} .

Lo contrario (lo opuesto) también es cierto. Es decir, si la derivada de una función es cero en todas partes, entonces la función es una función constante.

Matemáticamente escribimos estas dos afirmaciones:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c,\,,\Leftrightarrow \,\,\ y'(x)=0,,\,\para todo x\en \mathbb {R} }

Generalización

Una función f : A → B es una función constante si f(a) = f(b) para cada a y b en A.

Ejemplos

Ejemplo del mundo real: Una tienda en la que todos los artículos se venden a 1 euro. El dominio de esta función son los artículos de la tienda. El codominio es 1 euro.

Ejemplo: Sea f : A → B donde A={X,Y,Z,W} y B={1,2,3} y f(a)=3 para todo a∈A. Entonces f es una función constante.

Ejemplo: z(x,y)=2 es la función constante de A=ℝ² a B=ℝ donde cada punto (x,y)∈ℝ² está mapeado al valor z=2. La gráfica de esta función constante es el plano horizontal (paralelo al plano x0y) en el espacio tridimensional que pasa por el punto (0,0,2).

Ejemplo: La función polar ρ(φ)=2,5 es la función constante que asigna cada ángulo φ al radio ρ=2,5. La gráfica de esta función es la circunferencia de radio 2,5 en el plano.

Otras propiedades

Existen otras propiedades de las funciones constantes. Ver Función constante en la Wikipedia inglesa

Páginas relacionadas

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