Ecuación algebraica (polinómica): definición, ejemplos y tipos

Descubre qué es una ecuación algebraica (polinómica): definición clara, ejemplos resueltos, tipos y métodos para hallar raíces en enteros, racionales y complejos.

En matemáticas, una ecuación algebraica, también llamada ecuación polinómica sobre un campo dado es una ecuación de la forma

P = Q {\displaystyle P=Q}

donde P y Q son polinomios sobre ese campo, y tienen una (univariante) o más de una (multivariante) variables. Por ejemplo:

y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}

es una ecuación algebraica sobre los números racionales.

Dos ecuaciones se denominan equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Esto significa que todas las soluciones de la segunda ecuación deben ser también soluciones de la primera y viceversa. La ecuación P = Q {\displaystyle P=Q} es equivalente con P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0} . Así que el estudio de las ecuaciones algebraicas es equivalente al estudio de los polinomios.

Si una ecuación algebraica está sobre los racionales, siempre se puede convertir en una equivalente, donde todos los coeficientes son enteros. Por ejemplo, en la ecuación dada anteriormente, multiplicamos por 42 = 2·3·7 y agrupamos los términos en el primer miembro. La ecuación se convierte en

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}

Las soluciones de una ecuación son los valores de las variables para los que la ecuación es verdadera. Pero en el caso de las ecuaciones algebraicas también se llaman raíces. Cuando se resuelve una ecuación, hay que decir en qué conjunto se pueden encontrar las soluciones. Por ejemplo, para una ecuación sobre los racionales, se pueden encontrar soluciones en los enteros. Entonces, la ecuación es una ecuación diofántica. También se pueden buscar soluciones en el campo de los números complejos. También se pueden buscar soluciones en los números reales.

Los antiguos matemáticos querían las soluciones de las ecuaciones univariantes (es decir, ecuaciones con una sola variable) en forma de expresiones radicales, como x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} para la solución positiva de x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0} . Los antiguos egipcios sabían resolver así las ecuaciones de grado 2 (es decir, las ecuaciones en las que la mayor potencia de la variable es 2). En el Renacimiento, Gerolamo Cardano resolvió la ecuación de grado 3 y Lodovico Ferrari la de grado 4. Por último, Niels Henrik Abel demostró en 1824 que la ecuación de grado 5 y las ecuaciones de grado superior no siempre pueden resolverse utilizando radicales. La teoría de Galois, llamada así en honor a Évariste Galois, se introdujo para dar criterios que decidieran si una ecuación se puede resolver utilizando radicales.

Tipos de ecuaciones algebraicas y grado

• Ecuación lineal: polinomio de grado 1 en la(s) variable(s). Forma general en una variable: ax + b = 0.
• Ecuación cuadrática: polinomio de grado 2. Se resuelve con la fórmula cuadrática y puede tener hasta dos raíces (reales o complejas).
• Cúbica y cuártica: grados 3 y 4; existen fórmulas generales (Cardano para la cúbica y Ferrari para la cuártica).
• Quíntica y superiores: para grado ≥ 5 no existe una fórmula general por radicales válida para todos los casos (teorema de Abel–Ruffini).
• Ecuaciones multivariantes: involucran varios variables (por ejemplo, x e y). El estudio de sistemas de ecuaciones polinómicas es central en el álgebra geométrica y requiere técnicas específicas (resultantes, bases de Gröbner, etc.).
• Ecuaciones homogéneas: todos los términos tienen el mismo grado; aparecen con frecuencia en geometría proyectiva.

Conceptos importantes

• Grado: el mayor exponente (o la suma de exponentes en el caso multivariante para un término) determina el grado de la ecuación. El número de raíces complejas contadas con multiplicidad está relacionado con el grado del polinomio.
• Multiplicidad de raíces: una raíz puede repetirse; si (x − a)^m divide al polinomio, se dice que a es una raíz de multiplicidad m.
• Teorema fundamental del álgebra: todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja; equivalemente, tiene exactamente n raíces complejas contadas con multiplicidad, donde n es su grado.
• Coeficientes reales: si son reales, las raíces complejas aparecen en pares conjugados.
• Números algebraicos: un número complejo es algebraico si es raíz de algún polinomio no nulo con coeficientes racionales. Los demás son transcendentes.

Conjuntos de soluciones y problemas relevantes

Al resolver una ecuación algebraica conviene especificar en qué conjunto se buscan soluciones: enteros (ecuaciones diofánticas), racionales, reales o complejos. Los problemas diofánticos suelen ser más difíciles y pueden requerir técnicas de teoría de números, teoría de curvas elípticas, o métodos ad hoc. En particular, la resolución de ecuaciones diofánticas generales puede ser muy complicada y, en algunos casos (como problemas más generales que el de Hilbert 10) conduce a cuestiones de decidibilidad.

Métodos de resolución

• Métodos exactos: factorización, fórmulas cerradas (cuando existen), reducción a polinomios de menor grado, uso de resultantes y eliminantes para sistemas, y algoritmos algebraicos simbólicos (bases de Gröbner).
• Métodos numéricos: cuando no hay solución exacta simple, se usan métodos como Newton-Raphson, bisección, homotopía o métodos de eigenvalores (para encontrar raíces de polinomios) para aproximar soluciones reales o complejas.
• Teoría de Galois: proporciona criterios estructurales (a través del grupo de Galois) que determinan si las raíces de un polinomio pueden expresarse por radicales; también explica la imposibilidad general de soluciones por radicales para grado ≥ 5.

Aplicaciones y conexiones

Las ecuaciones algebraicas aparecen en muchas áreas: modelado físico y económico, criptografía (ecuaciones sobre cuerpos finitos), geometría algebraica (sistemas de polinomios definen variedades), teoría de control, astronomía (ecuaciones de movimiento) y muchas más. Además, el estudio de sus soluciones conduce a extensiones de campos y a la teoría de cuerpos finitos y algebraicos, fundamentales en matemáticas puras y aplicadas.

Conclusión

Una ecuación algebraica es, en esencia, una igualdad entre polinomios y su análisis abarca desde la resolución explícita en casos simples hasta teorías profundas como la teoría de Galois y la geometría algebraica. Saber en qué conjunto se buscan las soluciones, qué grado tiene la ecuación y qué métodos son aplicables es clave para abordar cualquier problema concreto.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es una ecuación algebraica?

P: ¿Cómo pueden ser equivalentes dos ecuaciones?

P: ¿Qué significa resolver una ecuación?

P: ¿Se pueden convertir siempre las ecuaciones algebraicas sobre números racionales en ecuaciones con coeficientes enteros?

P: ¿Cuándo quisieron los matemáticos antiguos expresiones radicales para ecuaciones univariantes?

P: ¿Quién resolvió ecuaciones de grado 3 y 4 durante esta época?

P: ¿Quién demostró que las ecuaciones de grado superior no siempre pueden resolverse utilizando radicales?

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