Ecuación algebraica
En matemáticas, una ecuación algebraica, también llamada ecuación polinómica sobre un campo dado es una ecuación de la forma
P = Q {\displaystyle P=Q} 
donde P y Q son polinomios sobre ese campo, y tienen una (univariante) o más de una (multivariante) variables. Por ejemplo:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}-xy^{2}+y^{2}}-{\frac {1}{7}} 
es una ecuación algebraica sobre los números racionales.
Dos ecuaciones se denominan equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Esto significa que todas las soluciones de la segunda ecuación deben ser también soluciones de la primera y viceversa. La ecuación P = Q {\displaystyle P=Q} es equivalente con P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0} 
. Así que el estudio de las ecuaciones algebraicas es equivalente al estudio de los polinomios.
Si una ecuación algebraica está sobre los racionales, siempre se puede convertir en una equivalente, donde todos los coeficientes son enteros. Por ejemplo, en la ecuación dada anteriormente, multiplicamos por 42 = 2-3-7 y agrupamos los términos en el primer miembro. La ecuación se convierte en
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Las soluciones de una ecuación son los valores de las variables para los que la ecuación es verdadera. Pero en el caso de las ecuaciones algebraicas también se llaman raíces. Cuando se resuelve una ecuación, hay que decir en qué conjunto se pueden encontrar las soluciones. Por ejemplo, para una ecuación sobre los racionales, se pueden encontrar soluciones en los enteros. Entonces, la ecuación es una ecuación diofántica. También se pueden buscar soluciones en el campo de los números complejos. También se pueden buscar soluciones en los números reales.
Los antiguos matemáticos querían las soluciones de las ecuaciones univariantes (es decir, ecuaciones con una sola variable) en forma de expresiones radicales, como x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}{2}}
para la solución positiva de x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
. Los antiguos egipcios sabían resolver así las ecuaciones de grado 2 (es decir, las ecuaciones en las que la mayor potencia de la variable es 2). En el Renacimiento, Gerolamo Cardano resolvió la ecuación de grado 3 y Lodovico Ferrari la de grado 4. Por último, Niels Henrik Abel demostró en 1824 que la ecuación de grado 5 y las ecuaciones de grado superior no siempre pueden resolverse utilizando radicales. La teoría de Galois, llamada así en honor a Évariste Galois, se introdujo para dar criterios que decidieran si una ecuación se puede resolver utilizando radicales.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es una ecuación algebraica?
R: Una ecuación algebraica es una ecuación de la forma P = Q, donde P y Q son polinomios sobre un campo dado con una o más variables.
P: ¿Cómo pueden ser equivalentes dos ecuaciones?
R: Dos ecuaciones se consideran equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones, lo que significa que todas las soluciones de una deben ser también soluciones de la otra y viceversa.
P: ¿Qué significa resolver una ecuación?
R: Resolver una ecuación significa encontrar los valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera. Estos valores se llaman raíces.
P: ¿Se pueden convertir siempre las ecuaciones algebraicas sobre números racionales en ecuaciones con coeficientes enteros?
R: Sí, multiplicando ambos lados por un número como 42 = 2-3-7 y agrupando los términos en el primer miembro, cualquier ecuación algebraica sobre números racionales puede convertirse en una con coeficientes enteros.
P: ¿Cuándo quisieron los matemáticos antiguos expresiones radicales para ecuaciones univariantes?
R: Los matemáticos antiguos querían expresiones radicales (como x=1+√5/2) para ecuaciones univariantes (ecuaciones con una variable) durante el periodo renacentista.
P: ¿Quién resolvió ecuaciones de grado 3 y 4 durante esta época?
R: Gerolamo Cardano resolvió ecuaciones de grado 3 y Lodovico Ferrari resolvió ecuaciones de grado 4 durante esta época.
P: ¿Quién demostró que las ecuaciones de grado superior no siempre pueden resolverse utilizando radicales?
R: Niels Henrik Abel demostró en 1824 que las ecuaciones de grado superior no siempre pueden resolverse utilizando radicales.
