Orden de operaciones: qué es y cómo aplicar la jerarquía en matemáticas

El orden de las operaciones es un conjunto de reglas matemáticas y algebraicas. Se utiliza para evaluar (resolver) y simplificar expresiones y ecuaciones. El orden de las operaciones es el orden en que se realizan las diferentes operaciones matemáticas. Las operaciones matemáticas estándar son la suma (+), la resta (-), la multiplicación (* o ×), la división (/), los paréntesis (que son símbolos de agrupación, como los paréntesis () o []) y la exponenciación (^n o ⁿ, también llamados órdenes o índices).

Los matemáticos han acordado un orden correcto para utilizar las operaciones, y es muy importante que conozcan estas reglas. Cuando se resuelve un problema con más de una operación, es necesario conocer el orden correcto para resolver el problema correctamente. De lo contrario, la respuesta será errónea.

Reglas básicas (jerarquía de operaciones)

Paréntesis y otros símbolos de agrupación: primero se evalúan los paréntesis (), corchetes [] y llaves {}; también la línea de fracción actúa como agrupador. Si hay paréntesis anidados, se trabaja de adentro hacia afuera.
Exponentes y raíces: potencias, raíces y otras operaciones de orden superior se realizan después de los paréntesis.
Multiplicación y división: tienen la misma prioridad y se resuelven de izquierda a derecha según aparecen en la expresión.
Suma y resta: tienen la misma prioridad y se resuelven de izquierda a derecha según aparecen en la expresión.

Una forma simple de recordarlo en español es: Paréntesis → Exponentes → Multiplicación/División → Suma/Resta. En inglés se usa a menudo el mnemónico PEMDAS (Parentheses, Exponents, Multiplication/Division, Addition/Subtraction).

Ejemplos resueltos paso a paso

2 + 3 × 4

Primero multiplicación: 3 × 4 = 12. Luego suma: 2 + 12 = 14.
(2 + 3) × 4

Primero paréntesis: 2 + 3 = 5. Luego multiplicación: 5 × 4 = 20.
8 ÷ 4 × 2

Multiplicación y división tienen la misma prioridad, se evalúan de izquierda a derecha: 8 ÷ 4 = 2 → 2 × 2 = 4.
3^2^2

La exponenciación suele asociarse de derecha a izquierda: 3^(2^2) = 3^4 = 81. (No es lo mismo que (3^2)^2 en general.)
-3^2 y (-3)^2

-3^2 se interpreta como -(3^2) = -9, mientras que (-3)^2 = 9. Por eso la posición de los paréntesis cambia el resultado.
(1 + 2) / (3 - 1)

Evaluar cada agrupación: (1+2)=3 y (3-1)=2. Luego la división 3 ÷ 2 = 1.5.

Casos especiales y errores comunes

Multiplicación implícita: cuando aparece algo como 2(3+4), se entiende como 2 × (3+4), por lo que se deben evaluar los paréntesis primero.
Barras de fracción: la línea de fracción actúa como un gran paréntesis; todo lo que esté arriba se calcula como numerador y lo de abajo como denominador antes de realizar la división.
Operaciones de igual prioridad: multiplicación y división, suma y resta, se hacen en el orden en que aparecen (izquierda a derecha). No siempre se hace multiplicación antes que división; depende de la posición.
Notación ambigua: malas escrituras como 6 ÷ 2(1+2) han generado controversias. Para evitar ambigüedad, usa paréntesis adicionales o escribe fracciones claras.
Funciones y otras operaciones: funciones como valor absoluto, factorial, logaritmos, etc., suelen tener su propia prioridad o se tratan como agrupadores; cuando haya duda, usa paréntesis.

Consejos prácticos

Si dudas, reescribe la expresión añadiendo paréntesis para dejar claro el orden que quieres aplicar.
Al usar calculadora, respeta la forma en que ésta interpreta la entrada (algunas calculadoras siguen reglas estrictas; otras requieren que introduzcas paréntesis manualmente).
En la enseñanza, empieza con ejemplos sencillos y añade paréntesis anidados y exponentes gradualmente.
Comprueba tus resultados reordenando la evaluación paso a paso o usando una calculadora como verificación.

Dominar el orden de las operaciones evita errores y facilita tanto el cálculo manual como la interpretación de expresiones algebraicas más complejas. Siempre que una expresión sea ambigua, la solución más segura es aclararla con paréntesis.

Reglas

Sigue todas las reglas en este orden de izquierda a derecha en la ecuación.

Paréntesis e índices

Utiliza las operaciones dentro de los paréntesis y resuelve los índices. Siempre debes resolver primero los paréntesis cuando resuelvas una ecuación.

Ejemplo:

2 * 4 + (9 - 8) + 3

2 * 4 + (9 - 8) + 3

2 * 4 + 1 + 3

2 * 4 + 1 + 3

8 + 1 + 3

8 + 1 + 3

9 + 3

= 12

Exponentes

Cuando veas un exponente, resuélvelo primero después de resolver los paréntesis. (5³= 5 * 5 * 5 = 125)

Multiplicación y división

Resuelve las multiplicaciones y divisiones del problema. Ten en cuenta que la multiplicación no precede a la división; esto es un error común. Ambas se resuelven de izquierda a derecha a medida que se producen.

Ejemplo:

5 * 4 - 9 / 3

5 * 4 - 9 / 3

20 - 9 / 3

20 - 9 / 3

20 - 3

= 17

Sumas y restas

Por último, resuelve cualquier suma o resta.

Dos ejemplos de todas las reglas

Ejemplo uno

(1 + 8) * (4 - 1) + 16 / 2 ³

(1 + 8) * (4 - 1) + 16 / 2 ³

9 * (4 - 1) + 16 / 2 ³

9 * 3 + 16 / 2 ³

9 * 3 + 16 / 8

9 * 3 + 16 / 8

27 + 16 / 8

27 + 2

= 29

Ejemplo dos

(7 + 3) * (6 - 3) + 216 / 3 ³

(7 + 3) * (6 - 3) + 216 / 3 ³

10 * (6 - 3) + 216 / 3 ³

10 * 3 + 216 / 3 ³

10 * 3 + 216 / 27

10 * 3 + 216 / 27

30 + 216 / 27

30 + 8

= 38

Conclusión:

Está en un acrónimo de GEMDAS o PEMDAS que significa Agrupación/Paréntesis, Exponente, Multiplicación y División y Suma y Resta.

Algunos alumnos se confunden al pensar que debe estar en su posición al resolver.

8 - 7 + 5, la gente dice que el 7 + 5 debe empezar pero eso es incorrecto. mira de izquierda a derecha para la respuesta correcta. Esta regla también se aplica en la multiplicación y la división.

Preguntas y respuestas

P: ¿Cuál es el orden de las operaciones?

R: El orden de las operaciones es un conjunto de reglas utilizadas para evaluar y simplificar expresiones y ecuaciones en matemáticas y álgebra.

P: ¿Por qué es importante el orden de las operaciones?

R: El orden de las operaciones es importante porque determina el orden correcto en que deben realizarse las distintas operaciones matemáticas al resolver un problema con más de una operación. No seguir el orden correcto puede dar lugar a una respuesta incorrecta.

P: ¿Cuáles son las operaciones matemáticas estándar?

R: Las operaciones matemáticas estándar son la suma (+), la resta (-), la multiplicación (* o ×), la división (/) y la exponenciación (^n o n).

P: ¿Qué son los paréntesis?

R: Los corchetes son símbolos de agrupación utilizados para indicar el orden de las operaciones, que incluyen () o paréntesis, [] o corchetes, y {} o llaves.

P: ¿Qué es la exponenciación?

R: La exponenciación es la operación matemática de elevar un número base a una determinada potencia, comúnmente representada como ^n o n (también llamados órdenes o índices).

P: ¿Quién se ha puesto de acuerdo sobre el orden correcto para utilizar las operaciones?

R: Los matemáticos se han puesto de acuerdo sobre el orden correcto para utilizar las operaciones.

P: ¿Qué ocurre si no se sigue el orden correcto de las operaciones al resolver un problema con más de una operación?

R: Si no sigue el orden correcto de las operaciones al resolver un problema con más de una operación, la respuesta será incorrecta.