Ecuación de Schrödinger: qué es y cómo explica la mecánica cuántica
Ecuación de Schrödinger: guía clara sobre la función de onda, el colapso cuántico y cómo explica el comportamiento de las partículas subatómicas.
La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial (un tipo de ecuación que implica una función desconocida en lugar de un número desconocido) que constituye la base de la mecánica cuántica, una de las teorías más precisas sobre el comportamiento de las partículas subatómicas. Es una ecuación matemática que se le ocurrió a Erwin Schrödinger en 1925. Define una función de onda de una partícula o sistema (grupo de partículas) que tiene un valor determinado en cada punto del espacio para cada tiempo determinado. Estos valores no tienen ningún significado físico (de hecho, son matemáticamente complejos), pero la función de onda contiene toda la información que puede conocerse sobre una partícula o sistema. Esta información puede encontrarse manipulando matemáticamente la función de onda para obtener valores reales relacionados con propiedades físicas como la posición, el momento, la energía, etc. La función de onda puede considerarse como una imagen de cómo actúa esta partícula o sistema con el tiempo y la describe de la forma más completa posible.
La función de onda puede estar en varios estados diferentes a la vez, por lo que una partícula puede tener muchas posiciones, energías, velocidades u otras propiedades físicas diferentes al mismo tiempo (es decir, "estar en dos sitios a la vez"). Sin embargo, cuando se mide una de estas propiedades sólo tiene un valor específico (que no puede predecirse definitivamente), y la función de onda se encuentra, por tanto, en un único estado específico. Esto se denomina colapso de la función de onda y parece estar causado por el acto de observación o medición. La causa exacta y la interpretación del colapso de la función de onda siguen siendo objeto de un amplio debate en la comunidad científica.
Para una partícula que sólo se mueve en una dirección en el espacio, la ecuación de Schrödinger se parece:
- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}{\frac {\parcial ^{2}}{parcial x^{2}}\Psi (x,\t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\parcial }{parcial t}}\Psi (x,\t)}
donde i {\displaystyle i}
es la raíz cuadrada de -1, ℏ {\displaystyle \hbar }
es la constante de Planck reducida, t {\displaystyle t}
es el tiempo, x {\displaystyle x}
es una posición, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)}
es la función de onda, y V ( x ) {\displaystyle V(x)}
es la energía potencial, una función aún no elegida de la posición. El lado izquierdo es equivalente al operador de energía hamiltoniano que actúa sobre Ψ {\displaystyle \Psi } 
.
Interpretación probabilística (Regla de Born)
La interpretación estándar de la función de onda fue propuesta por Max Born: el módulo al cuadrado de la función de onda, |Ψ(x,t)|², da la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en la posición x en el tiempo t. Por eso la función de onda debe estar normalizada, es decir:
∫ |Ψ(x,t)|² dx = 1 (integral sobre todo el espacio).
De forma más general, la probabilidad de que una magnitud física (observable) tome ciertos valores se obtiene a partir de la función de onda y de los autovalores y autofunciones del operador asociado a esa magnitud.
Ecuación independiente del tiempo y estados estacionarios
Si la energía potencial V(x) no depende del tiempo, se busca soluciones que separen variables Ψ(x,t) = ψ(x)·T(t). Esto conduce a la ecuación independiente del tiempo (estacionaria):
- (ℏ² / 2m) d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = E ψ(x)
Las soluciones ψ(x) que satisfacen esta ecuación con condiciones de contorno apropiadas son los estados estacionarios o autofunciones del Hamiltoniano, con E siendo los autovalores (niveles de energía). En muchos sistemas cuánticos estos valores de energía son discretos (cuantización), como ocurre en la partícula en una caja o en el átomo de hidrógeno.
Operadores, esperanzas y mediciones
En mecánica cuántica, las magnitudes físicas se representan por operadores (por ejemplo, el operador momento es -iℏ ∂/∂x). El valor esperado (media) de un observable A en el estado Ψ se calcula como:
<A> = ∫ Ψ*(x,t) Ĥ_A Ψ(x,t) dx
Si Ψ es una autofunción del operador Ĥ_A con autovalor a, entonces la medición del observable dará el valor a con probabilidad 1. Si Ψ es una superposición de autofunciones, la medición produce uno de los posibles autovalores con probabilidad determinada por los coeficientes de dicha superposición.
Propiedades importantes
- Linealidad y superposición: La ecuación de Schrödinger es lineal, por lo que combinaciones lineales de soluciones son también soluciones.
- Conservación de la probabilidad: La evolución según Schrödinger conserva la normalización; existe una ecuación de continuidad que define la corriente de probabilidad.
- Condiciones de contorno: Las soluciones deben ser finitas, continuas y cuadrado-integrables en todo el dominio físico.
- Localización y dispersión: Los paquetes de ondas que representan partículas libres tienden a dispersarse con el tiempo, reflejando la incertidumbre en posición y momento.
Ejemplos comunes
- Partícula en una caja (pozo infinito): conduce a niveles de energía discretos y funciones de onda sinusoidales; es un ejemplo básico de cuantización.
- Oscilador armónico cuántico: modelo clave en física con soluciones guiadas por polinomios de Hermite; aparece en vibraciones moleculares y en campos cuánticos.
- Átomo de hidrógeno: resolución en coordenadas esféricas produce niveles de energía que explican las líneas espectrales del hidrógeno.
Aplicaciones y técnicas
La ecuación de Schrödinger es fundamental en:
- Química cuántica (estructura y reactividad molecular).
- Física del estado sólido (bandas electrónicas, semiconductores).
- Diseño de dispositivos cuánticos (láseres, transistores, qubits).
- Métodos numéricos: muchas veces no hay solución analítica y se usan aproximaciones (variacional, perturbación) o cálculos numéricos.
Interpretaciones y el problema de medición
La interpretación de Copenhague (clásica) toma la regla de Born y el colapso como elementos fundamentales: antes de medir, el sistema está en superposición; la medición da un resultado aleatorio y proyecta el sistema en un autestado. Existen otras interpretaciones (por ejemplo, muchos mundos, variables ocultas, etc.) que tratan de explicar o evitar el colapso; el debate filosófico y físico sobre la naturaleza exacta de la medición continúa abierto.
Límite clásico y correspondencia
En situaciones macroscópicas o cuando ℏ puede considerarse pequeño frente a las acciones típicas del sistema, los resultados cuánticos tienden a reproducir los de la mecánica clásica (principio de correspondencia). Fenómenos como interferencia y túnel cuántico no tienen análogos clásicos directos.
Resumen
La ecuación de Schrödinger proporciona el marco para describir la dinámica y los estados de los sistemas cuánticos mediante la función de onda. A partir de ella se extraen probabilidades, energías y otras predicciones experimentales que han sido verificadas con gran exactitud. Aunque sus aspectos matemáticos y su interpretación conceptual pueden ser desafiantes, su poder explicativo y su alcance práctico la convierten en la piedra angular de la física y la química modernas.
Busto de Erwin Schrödinger, en la Universidad de Viena. También muestra una ecuación de Schrödinger.
Versión independiente del tiempo
Suponiendo que la función de onda, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} 
, es separable, es decir, suponiendo que la función de dos variables puede escribirse como el producto de dos funciones diferentes de una sola variable:
Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)}
entonces, utilizando técnicas matemáticas estándar de ecuaciones diferenciales parciales, se puede demostrar que la ecuación de onda puede reescribirse como dos ecuaciones diferenciales distintas
i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\ T(t)}
- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}+V(x)\psi (x)=E\frac,\psi (x)}
donde la primera ecuación depende únicamente del tiempo T ( t ) {\displaystyle T(t)}, y la segunda ecuación depende únicamente de la posición ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 
, y la segunda ecuación depende únicamente de la posición ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 
y donde E {\displaystyle E}
es sólo un número. La primera ecuación se puede resolver inmediatamente para dar
T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^-{i{frac {Et}{hbar }}}}
donde e {\displaystyle e}
es el número de Euler. Las soluciones de la segunda ecuación dependen de la función de energía potencial, V ( x ) {\displaystyle V(x)} por lo que no se puede resolver hasta que se dé esta función. Se puede demostrar utilizando la mecánica cuántica que el número E {\displaystyle E} es en realidad la energía del sistema, por lo que estas funciones de onda separables describen sistemas de energía constante. Dado que la energía es constante en muchos sistemas físicos importantes (por ejemplo: un electrón en un átomo), a menudo se utiliza la segunda ecuación del conjunto de ecuaciones diferenciales separadas presentadas anteriormente. Esta ecuación se conoce como la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, ya que no implica t {\displaystyle t} .
Interpretaciones de la función de onda
Interpretación de los nacimientos
Hay muchas interpretaciones filosóficas de la función de onda, y aquí se considerarán algunas de las ideas principales. La idea principal, denominada interpretación de la probabilidad de Born (llamada así por el físico Max Born), procede de la simple idea de que la función de onda es integrable al cuadrado, es decir
∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^\\infty }!|\\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty }
Esta fórmula tan sencilla tiene grandes implicaciones físicas. Born planteó la hipótesis de que la integral anterior determina que la partícula existe en algún lugar del espacio. Pero, ¿cómo podemos encontrarla? Utilizamos la integral
∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle |int _{b}^{a}!\\ Psi (x,t)dx=P(b<x<a)}
donde P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} 
es la probabilidad de encontrar la partícula en la región comprendida entre b {\displaystyle b}
y a {\displaystyle a}
. En otras palabras, todo lo que se puede saber de antemano sobre una partícula en general son probabilidades, promedios y otras cantidades estadísticas asociadas a sus cantidades físicas (posición, momento, etc.). Básicamente, ésta es la interpretación de Born.
Interpretación de Copenhague
Se puede hacer una extensión de las ideas anteriores. Como la interpretación de Born dice que la posición real de la partícula no puede ser conocida, podemos derivar lo siguiente. Si Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} 
son soluciones de la ecuación de onda, entonces la superposición de esas soluciones, es decir
Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {{displaystyle {Psi _{s}=c_{1}Psi _{1}+c_{2}Psi _{2}+c_{3}Psi _{3}+{puntos +c_{n}Psi _{n}}
es también una solución. Esto implica, entonces, que la partícula existe en todas las posiciones posibles. Cuando un observador viene y mide la posición de la partícula, entonces la superposición se reduce a una sola función de onda posible. (es decir, Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}} 
→ Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} 
, donde Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} es cualquiera de los posibles estados de la función de onda). Esta idea de que la posición de una partícula no puede conocerse exactamente, y que una partícula existe en múltiples posiciones simultáneamente, da lugar al principio de incertidumbre. La formulación matemática de este principio puede ser dada por
Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}
Donde Δ x {\displaystyle \Delta x}
es la incertidumbre en la posición, y Δ p {\displaystyle \Delta p}
es la incertidumbre en el momento. Este principio se puede derivar matemáticamente de las transformadas de Fourier entre el momento y la posición, tal y como las define la mecánica cuántica, pero no lo derivaremos en este artículo.
Otras interpretaciones
Existen otras interpretaciones, como la de los muchos mundos o la del determinismo cuántico.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es la ecuación de Schrödinger?
R: La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial que constituye la base de la mecánica cuántica y fue ideada por Erwin Schrödinger en 1925. Define una función de onda de una partícula o sistema que tiene un valor determinado en cada punto del espacio para cada tiempo dado.
P: ¿Qué información puede obtenerse manipulando la función de onda?
R: Manipulando matemáticamente la función de onda se pueden hallar valores reales relativos a propiedades físicas como la posición, el momento, la energía, etc.
P: ¿Qué significa que una partícula pueda tener muchas posiciones, energías, velocidades u otras propiedades físicas diferentes al mismo tiempo?
R: Significa que la función de onda puede estar en varios estados diferentes a la vez y, por tanto, una partícula puede tener muchas posiciones, energías, velocidades u otras propiedades físicas diferentes al mismo tiempo (es decir, "estar en dos sitios a la vez").
P: ¿Qué es el colapso de la función de onda?
R: El colapso de la función de onda se produce cuando al medir una de estas propiedades sólo tiene un valor específico (que no puede predecirse definitivamente) y, por tanto, la función de onda se encuentra en un único estado específico. Esto parece estar causado por el acto de observación o medición.
P: ¿Cuáles son algunos componentes de la ecuación de Schrödinger?
R: Los componentes de la ecuación de Schrödinger incluyen i, que es igual a la raíz cuadrada -1; ℏ, que representa la constante de Planck reducida; t, que representa el tiempo; x, que representa la posición; Ψ (x , t), que representa las funciones de onda; y V(x), que representa la energía potencial como una función aún no elegida de la posición.
P: ¿Cómo interpretamos el colapso de la función de onda?
R: La causa exacta y la interpretación del colapso de la función de onda siguen siendo ampliamente debatidas en la comunidad científica.
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