Ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial (un tipo de ecuación que implica una función desconocida en lugar de un número desconocido) que constituye la base de la mecánica cuántica, una de las teorías más precisas sobre el comportamiento de las partículas subatómicas. Es una ecuación matemática que se le ocurrió a Erwin Schrödinger en 1925. Define una función de onda de una partícula o sistema (grupo de partículas) que tiene un valor determinado en cada punto del espacio para cada tiempo determinado. Estos valores no tienen ningún significado físico (de hecho, son matemáticamente complejos), pero la función de onda contiene toda la información que puede conocerse sobre una partícula o sistema. Esta información puede encontrarse manipulando matemáticamente la función de onda para obtener valores reales relacionados con propiedades físicas como la posición, el momento, la energía, etc. La función de onda puede considerarse como una imagen de cómo actúa esta partícula o sistema con el tiempo y la describe de la forma más completa posible.

La función de onda puede estar en varios estados diferentes a la vez, por lo que una partícula puede tener muchas posiciones, energías, velocidades u otras propiedades físicas diferentes al mismo tiempo (es decir, "estar en dos sitios a la vez"). Sin embargo, cuando se mide una de estas propiedades sólo tiene un valor específico (que no puede predecirse definitivamente), y la función de onda se encuentra, por tanto, en un único estado específico. Esto se denomina colapso de la función de onda y parece estar causado por el acto de observación o medición. La causa exacta y la interpretación del colapso de la función de onda siguen siendo objeto de un amplio debate en la comunidad científica.

Para una partícula que sólo se mueve en una dirección en el espacio, la ecuación de Schrödinger se parece:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}{\frac {\parcial ^{2}}{parcial x^{2}}\Psi (x,\t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\parcial }{parcial t}}\Psi (x,\t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

donde i {\displaystyle i} $i$ es la raíz cuadrada de -1, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ es la constante de Planck reducida, t {\displaystyle t} $t$ es el tiempo, x {\displaystyle x} es una posición, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ es la función de onda, y V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ es la energía potencial, una función aún no elegida de la posición. El lado izquierdo es equivalente al operador de energía hamiltoniano que actúa sobre Ψ {\displaystyle \Psi } $\Psi$ .

Busto de Erwin Schrödinger, en la Universidad de Viena. También muestra una ecuación de Schrödinger.

Versión independiente del tiempo

Suponiendo que la función de onda, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , es separable, es decir, suponiendo que la función de dos variables puede escribirse como el producto de dos funciones diferentes de una sola variable:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

entonces, utilizando técnicas matemáticas estándar de ecuaciones diferenciales parciales, se puede demostrar que la ecuación de onda puede reescribirse como dos ecuaciones diferenciales distintas

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\ T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}+V(x)\psi (x)=E\frac,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

donde la primera ecuación depende únicamente del tiempo T ( t ) {\displaystyle T(t)}, y la segunda ecuación depende únicamente de la posición ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $T(t)$ , y la segunda ecuación depende únicamente de la posición ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ y donde E {\displaystyle E} $E$ es sólo un número. La primera ecuación se puede resolver inmediatamente para dar

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^-{i{frac {Et}{hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

donde e {\displaystyle e} $e$ es el número de Euler. Las soluciones de la segunda ecuación dependen de la función de energía potencial, V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ por lo que no se puede resolver hasta que se dé esta función. Se puede demostrar utilizando la mecánica cuántica que el número E {\displaystyle E} $E$ es en realidad la energía del sistema, por lo que estas funciones de onda separables describen sistemas de energía constante. Dado que la energía es constante en muchos sistemas físicos importantes (por ejemplo: un electrón en un átomo), a menudo se utiliza la segunda ecuación del conjunto de ecuaciones diferenciales separadas presentadas anteriormente. Esta ecuación se conoce como la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, ya que no implica t {\displaystyle t} $t$ .

Interpretaciones de la función de onda

Interpretación de los nacimientos

Hay muchas interpretaciones filosóficas de la función de onda, y aquí se considerarán algunas de las ideas principales. La idea principal, denominada interpretación de la probabilidad de Born (llamada así por el físico Max Born), procede de la simple idea de que la función de onda es integrable al cuadrado, es decir

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^\\infty }!|\\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Esta fórmula tan sencilla tiene grandes implicaciones físicas. Born planteó la hipótesis de que la integral anterior determina que la partícula existe en algún lugar del espacio. Pero, ¿cómo podemos encontrarla? Utilizamos la integral

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle |int _{b}^{a}!\\ Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

donde P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} $P(b<x<a)$ es la probabilidad de encontrar la partícula en la región comprendida entre b {\displaystyle b} $b$ y a {\displaystyle a} . En otras palabras, todo lo que se puede saber de antemano sobre una partícula en general son probabilidades, promedios y otras cantidades estadísticas asociadas a sus cantidades físicas (posición, momento, etc.). Básicamente, ésta es la interpretación de Born.

Interpretación de Copenhague

Se puede hacer una extensión de las ideas anteriores. Como la interpretación de Born dice que la posición real de la partícula no puede ser conocida, podemos derivar lo siguiente. Si Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ son soluciones de la ecuación de onda, entonces la superposición de esas soluciones, es decir

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {{displaystyle {Psi _{s}=c_{1}Psi _{1}+c_{2}Psi _{2}+c_{3}Psi _{3}+{puntos +c_{n}Psi _{n}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

es también una solución. Esto implica, entonces, que la partícula existe en todas las posiciones posibles. Cuando un observador viene y mide la posición de la partícula, entonces la superposición se reduce a una sola función de onda posible. (es decir, Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}} $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ , donde Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ es cualquiera de los posibles estados de la función de onda). Esta idea de que la posición de una partícula no puede conocerse exactamente, y que una partícula existe en múltiples posiciones simultáneamente, da lugar al principio de incertidumbre. La formulación matemática de este principio puede ser dada por

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Donde Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ es la incertidumbre en la posición, y Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ es la incertidumbre en el momento. Este principio se puede derivar matemáticamente de las transformadas de Fourier entre el momento y la posición, tal y como las define la mecánica cuántica, pero no lo derivaremos en este artículo.

Otras interpretaciones

Existen otras interpretaciones, como la de los muchos mundos o la del determinismo cuántico.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la ecuación de Schrödinger?

R: La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial que constituye la base de la mecánica cuántica y fue ideada por Erwin Schrödinger en 1925. Define una función de onda de una partícula o sistema que tiene un valor determinado en cada punto del espacio para cada tiempo dado.

P: ¿Qué información puede obtenerse manipulando la función de onda?

R: Manipulando matemáticamente la función de onda se pueden hallar valores reales relativos a propiedades físicas como la posición, el momento, la energía, etc.

P: ¿Qué significa que una partícula pueda tener muchas posiciones, energías, velocidades u otras propiedades físicas diferentes al mismo tiempo?

R: Significa que la función de onda puede estar en varios estados diferentes a la vez y, por tanto, una partícula puede tener muchas posiciones, energías, velocidades u otras propiedades físicas diferentes al mismo tiempo (es decir, "estar en dos sitios a la vez").

P: ¿Qué es el colapso de la función de onda?

R: El colapso de la función de onda se produce cuando al medir una de estas propiedades sólo tiene un valor específico (que no puede predecirse definitivamente) y, por tanto, la función de onda se encuentra en un único estado específico. Esto parece estar causado por el acto de observación o medición.

P: ¿Cuáles son algunos componentes de la ecuación de Schrödinger?

R: Los componentes de la ecuación de Schrödinger incluyen i, que es igual a la raíz cuadrada -1; ℏ, que representa la constante de Planck reducida; t, que representa el tiempo; x, que representa la posición; Ψ (x , t), que representa las funciones de onda; y V(x), que representa la energía potencial como una función aún no elegida de la posición.

P: ¿Cómo interpretamos el colapso de la función de onda?

R: La causa exacta y la interpretación del colapso de la función de onda siguen siendo ampliamente debatidas en la comunidad científica.