Transformada de Fourier | función matemática que puede utilizarse para encontrar las frecuencias base de las que está compuesta una onda

La transformada de Fourier es una función matemática que puede utilizarse para encontrar las frecuencias base de las que está compuesta una onda. Imagine que toca un acorde en un piano. Cuando se toca, los sonidos de las notas del acorde se mezclan y forman una onda sonora. Esto funciona porque cada una de las ondas de las diferentes notas interfieren entre sí sumándose o cancelándose en diferentes puntos de la onda. Una transformada de Fourier toma esta onda compleja y es capaz de encontrar las frecuencias que la formaron, lo que significa que puede encontrar las notas de las que está hecho un acorde.

La salida de una transformada de Fourier se denomina a veces espectro o distribución de frecuencias porque muestra una distribución de las posibles frecuencias de la entrada. Esta función tiene muchos usos en criptografía, oceanografía, aprendizaje automático, radiología, física cuántica, así como en el diseño y la visualización del sonido.

La transformada de Fourier de una función f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) , a veces escrita como F { f } {\displaystyle {\mathcal {F}}\f\} ${\mathcal {F}}\{f\}$ , viene dada por

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}\a,dx} $F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}\,dx$

donde:

α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ es una frecuencia.
$F(\alpha )$ F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )} es la función de transformación de Fourier y devuelve un valor que representa la prevalencia de la frecuencia α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ en la señal original.
$e^{-2\pi i\alpha x}$ e - 2 π i α x {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}} representa la envoltura de la función de onda de entrada f ( x ) {\displaystyle f(x)} alrededor del origen del plano complejo en alguna frecuencia α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ .

La transformada inversa de Fourier viene dada por

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\displaystyle f(x)=int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ixalpha }\a,d\alpha } $f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }\,d\alpha$

Una transformada de Fourier muestra qué frecuencias hay en una señal. Por ejemplo, consideremos una onda sonora que contiene tres notas musicales diferentes: A, B y C. Si hace un gráfico de la transformada de Fourier de esta onda sonora (con la frecuencia en el eje x y la intensidad en el eje y) mostrará un pico en cada frecuencia que se corresponde con una de las notas musicales.

Se pueden crear muchas señales sumando cosenos y senos con amplitudes y frecuencias variables. La transformada de Fourier traza las amplitudes y fases de estos cosenos y senos frente a sus respectivas frecuencias.

Las transformadas de Fourier son importantes, porque muchas señales tienen más sentido cuando se separan sus frecuencias. En el ejemplo de audio anterior, mirar la señal con respecto al tiempo no hace evidente que las notas A, B y C estén en la señal. Muchos sistemas hacen cosas diferentes a las distintas frecuencias, por lo que este tipo de sistemas pueden describirse por lo que hacen a cada frecuencia. Un ejemplo de ello es un filtro que bloquea las frecuencias altas.

Calcular una transformada de Fourier requiere entender la integración y los números imaginarios. Normalmente se utilizan ordenadores para calcular las transformadas de Fourier de todo lo que no sean las señales más sencillas. La transformada rápida de Fourier es un método que utilizan los ordenadores para calcular rápidamente una transformada de Fourier.

· Original function showing a signal oscillating at 3 hertz.

Función original que muestra una señal que oscila a 3 hercios.

· Real and imaginary parts of integrand for Fourier transform at 3 hertz

Partes real e imaginaria del integrando para la transformada de Fourier a 3 hercios

· Real and imaginary parts of integrand for Fourier transform at 5 hertz

Partes real e imaginaria del integrando para la transformada de Fourier a 5 hercios

· Fourier transform with 3 and 5 hertz labeled.

Transformada de Fourier con 3 y 5 hertzios etiquetados.

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Transformación de Laplace

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la transformada de Fourier?

R: La transformada de Fourier es una función matemática que se puede utilizar para encontrar las frecuencias base de las que se compone una onda. Toma una onda compleja y encuentra las frecuencias que la componen, lo que permite identificar las notas que componen un acorde.

P: ¿Cuáles son algunos de los usos de la transformada de Fourier?

R: La transformada de Fourier tiene muchos usos en criptografía, oceanografía, aprendizaje automático, radiología, física cuántica, así como en el diseño y la visualización del sonido.

P: ¿Cómo se calcula la transformada de Fourier?

R: La transformada de Fourier de una función f(x) viene dada por F(ב) = ∫-∞+∞f(x)e-2נiבxdx donde ב es una frecuencia. Esto devuelve un valor que representa la prevalencia de la frecuencia ב en la señal original. La transformada de Fourier inversa viene dada por f(x) = ∫-∞+∞F(ב)e+2נixבdב.

P: ¿Qué aspecto tiene la salida de una Transformada de Fourier?

R: La salida de una Transformada de Fourier puede llamarse espectro o distribución de frecuencias porque muestra una distribución de las posibles frecuencias de la entrada.

P: ¿Cómo calculan los ordenadores las transformadas rápidas de Fourier?

R: Los ordenadores utilizan un algoritmo llamado Transformada Rápida de Fourier (FFT) para calcular rápidamente cualquier transformación de las señales, excepto las más simples.

P: ¿Qué es lo que no nos muestra mirar las señales con respecto al tiempo?

R: Mirar las señales con respecto al tiempo no hace evidente qué notas están presentes en ellas; muchas señales tienen más sentido cuando se separan sus frecuencias y se analizan individualmente en su lugar.