Transformada de Fourier: qué es, fórmula y aplicaciones

Descubre qué es la Transformada de Fourier, su fórmula y aplicaciones prácticas: análisis de señales, audio, imagen, criptografía y física. Explicación clara con ejemplos.

Autor: Leandro Alegsa

12-03-2026 21:37

La transformada de Fourier es una función matemática que descompone una señal en las frecuencias que la componen. Una forma intuitiva de entenderlo es imaginar que se toca un acorde en un piano: las ondas sonoras de las distintas notas se suman y generan una señal compleja. La transformada de Fourier toma esa señal y determina qué frecuencias (es decir, qué notas) están presentes y con qué amplitud y fase.

El resultado de la transformada suele llamarse espectro o distribución de frecuencias, porque muestra cómo se distribuye la energía o magnitud de la señal entre las diferentes frecuencias. Esta herramienta tiene aplicaciones en campos tan diversos como la criptografía, la oceanografía, el aprendizaje automático, la radiología, la física cuántica y el diseño y la visualización del sonido, entre otros.

Definición y fórmula

La transformada de Fourier de una función f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) , a veces escrita como F { f } {\displaystyle {\mathcal {F}}\f\} ${\mathcal {F}}\{f\}$ , viene dada por

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}\a,dx} $F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}\,dx$

donde:

$\alpha$ es la frecuencia (en hertz si la variable temporal x está en segundos).
$F(\alpha )$ es la transformada: un número complejo que indica la magnitud y la fase de la componente en la frecuencia α en la señal original.
$e^{-2\pi i\alpha x}$ representa la oscilación compleja (factor exponencial) que “proyecta” la señal sobre la frecuencia α.

Transformada inversa

Para recuperar la señal en el dominio del tiempo a partir de su espectro se usa la transformada inversa. La transformada inversa de Fourier viene dada por

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\displaystyle f(x)=int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ixalpha }\a,d\alpha } $f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }\,d\alpha$

En muchas referencias aparece una constante de normalización (por ejemplo 1/2π) según la convención utilizada; lo importante es que la transformada y su inversa sean operaciones conjugadas apropiadas para la convención escogida.

Interpretación práctica

Una transformada de Fourier muestra qué frecuencias hay en una señal. Por ejemplo, una onda sonora que contiene tres notas musicales diferentes (A, B y C) tendrá en su transformada picos en las frecuencias correspondentes a esas notas: en el eje x se representan las frecuencias y en el eje y la intensidad o magnitud de cada componente. La transformada también devuelve información de fase, lo que permite reconstruir la forma de onda en el tiempo.

Se pueden crear muchas señales sumando cosenos y senos con distintas amplitudes, frecuencias y fases. La transformada traza la amplitud y la fase de estas componentes frente a la frecuencia, proporcionando así una representación alternativa muy útil cuando la información de interés está en el dominio de la frecuencia.

Propiedades importantes

Linealidad: la transformada de la suma (o de una escala) es la suma (o escala) de las transformadas.
Desplazamiento en el tiempo: desplazar la señal en el tiempo equivale a multiplicar su transformada por un factor exponencial de fase.
Desplazamiento en frecuencia (modulación): multiplicar por un exponencial en el tiempo desplaza el espectro en frecuencia.
Escalado: comprimir/estirar la señal en el tiempo expande/contrae su espectro en frecuencia.
Convolución: la transformada de la convolución en el tiempo es el producto de las transformadas (teorema de la convolución), y viceversa.
Parseval / Plancherel: la energía total de la señal se conserva entre el dominio del tiempo y el de la frecuencia (integral del cuadrado = integral del cuadrado del módulo de la transformada, salvo constantes de normalización).

Ejemplos visuales

· Original function showing a signal oscillating at 3 hertz.

Función original que muestra una señal que oscila a 3 hercios.

· Real and imaginary parts of integrand for Fourier transform at 3 hertz

Partes real e imaginaria del integrando para la transformada de Fourier a 3 hercios

· Real and imaginary parts of integrand for Fourier transform at 5 hertz

Partes real e imaginaria del integrando para la transformada de Fourier a 5 hercios

· Fourier transform with 3 and 5 hertz labeled.

Transformada de Fourier con 3 y 5 hertzios etiquetados.

Aplicaciones prácticas

Procesado de audio: análisis de espectro, ecualización, eliminación de ruido, reconocimiento de notas musicales.
Procesado de imágenes y radiología: reconstrucción en tomografía, filtrado y compresión (por ejemplo JPEG usa la DCT, relacionada con la transformada de Fourier).
Telecomunicaciones: diseño de filtros, modulación y demodulación, análisis de canales.
Física y PDEs: solución de ecuaciones diferenciales y problemas de vibraciones mediante separación de frecuencias.
Análisis espectral: en oceanografía, geofísica y astronomía para identificar componentes periódicas en señales.
Aprendizaje automático: extracción de características basadas en frecuencia, redes neuronales aplicadas a señales y series temporales.

Cómputo: DFT y FFT

En la práctica, las señales que se analizan suelen ser discretas y finitas. Para ellas se usa la transformada discreta de Fourier (DFT), y su cálculo eficiente se realiza mediante algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT), con complejidad típica O(N log N). Las librerías numéricas (por ejemplo FFTW, NumPy, MATLAB) implementan FFTs optimizadas para distintos tamaños y plataformas.

Consideraciones prácticas

Muestreo y aliasing: al muestrear una señal analógica hay que respetar el teorema de muestreo (Nyquist). Si se muestrea por debajo del doble de la máxima frecuencia presente se produce aliasing.
Resolución en frecuencia vs. duración temporal: hay un compromiso entre la precisión en frecuencia y la longitud de la ventana temporal analizada (incertidumbre tiempo‑frecuencia).
Ventanas y fugas espectrales: al analizar tramos finitos de señal conviene aplicar ventanas (Hann, Hamming, Blackman, etc.) para reducir la fuga espectral.
Cero‑padding: rellenar con ceros mejora la visualización del espectro pero no añade resolución real; sin embargo permite interpolación del espectro discreto.
Magnitud y densidad espectral: en señales aleatorias se utilizan densidades espectrales de potencia (PSD) y estimadores periodograma para caracterizar energía por banda.

Variantes y generalizaciones

Transformada de Fourier en varias dimensiones: aplicada a imágenes (2D) y volúmenes (3D).
Transformada de Laplace y transformadas de tiempo‑frecuencia (STFT, Wavelets): útiles cuando la señal cambia en el tiempo.
Transformada discreta de Fourier (DFT) y transformada rápida (FFT): para señales muestreadas.

Requisitos y recursos para aprender

Calcular y comprender la transformada de Fourier requiere conocimientos básicos de integración y de números imaginarios, así como práctica con herramientas computacionales para señales reales. Para principiantes conviene comenzar con ejemplos sencillos (senoides, cuadrados, sumas de tonos) y usar software que calcule la FFT para experimentar con las propiedades y efectos prácticos (aliasing, ventanas, filtrado).

En resumen, la transformada de Fourier es una herramienta fundamental para analizar y procesar señales en el dominio de la frecuencia. Su comprensión abre la puerta a técnicas de filtrado, compresión, diagnóstico y modelado en numerosas disciplinas científicas y de ingeniería.

Páginas relacionadas

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Teorema de inversión de Fourier
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Transformación de Laplace

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la transformada de Fourier?

R: La transformada de Fourier es una función matemática que se puede utilizar para encontrar las frecuencias base de las que se compone una onda. Toma una onda compleja y encuentra las frecuencias que la componen, lo que permite identificar las notas que componen un acorde.

P: ¿Cuáles son algunos de los usos de la transformada de Fourier?

R: La transformada de Fourier tiene muchos usos en criptografía, oceanografía, aprendizaje automático, radiología, física cuántica, así como en el diseño y la visualización del sonido.

P: ¿Cómo se calcula la transformada de Fourier?

R: La transformada de Fourier de una función f(x) viene dada por F(ב) = ∫-∞+∞f(x)e-2נiבxdx donde ב es una frecuencia. Esto devuelve un valor que representa la prevalencia de la frecuencia ב en la señal original. La transformada de Fourier inversa viene dada por f(x) = ∫-∞+∞F(ב)e+2נixבdב.

P: ¿Qué aspecto tiene la salida de una Transformada de Fourier?

R: La salida de una Transformada de Fourier puede llamarse espectro o distribución de frecuencias porque muestra una distribución de las posibles frecuencias de la entrada.

P: ¿Cómo calculan los ordenadores las transformadas rápidas de Fourier?

R: Los ordenadores utilizan un algoritmo llamado Transformada Rápida de Fourier (FFT) para calcular rápidamente cualquier transformación de las señales, excepto las más simples.

P: ¿Qué es lo que no nos muestra mirar las señales con respecto al tiempo?

R: Mirar las señales con respecto al tiempo no hace evidente qué notas están presentes en ellas; muchas señales tienen más sentido cuando se separan sus frecuencias y se analizan individualmente en su lugar.

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