Fractal

Ejemplos

Hay muchos tipos de fractales, realizados de muy diversas maneras. Un ejemplo es el triángulo de Sierpinski, donde hay un número infinito de triángulos pequeños dentro del grande. Otro ejemplo es el conjunto de Mandelbrot, llamado así por Benoît Mandelbrot. El triángulo de Sierpinksi se construye mediante patrones, pero el conjunto de Mandelbrot se basa en una ecuación.

También hay muchos ejemplos naturales de fractales en la naturaleza, como los árboles, los copos de nieve, algunos vegetales y las costas.

La curva de Koch

La curva de Koch es un ejemplo sencillo de fractal. En primer lugar, empieza con una parte de una línea recta, llamada segmento de línea recta. Corta la línea en 3 trozos del mismo tamaño. Deshazte de la parte central de esos trozos, y pon la parte superior de un triángulo cuyos lados tengan la misma longitud que el trozo a cortar. Ahora tenemos 4 segmentos de línea que se tocan en los extremos. Ahora podemos hacer lo que acabamos de hacer con el primer segmento con cada uno de los 4 trozos. Ahora podemos hacer lo mismo una y otra vez a todos los bits que tenemos. Ahora hacemos esto para siempre y miramos lo que tenemos al final.

La longitud de la curva de Koch es infinita, y el área de la curva de Koch es cero. Esto es bastante extraño. Un segmento de línea (con dimensión 1) podría tener una longitud de 1, pero tiene un área de 0. Un cuadrado de longitud 1 y anchura 1 (con dimensión 2) tendrá área 1 y longitud de infinito.

Dimensión de similitud

Así, la curva de Koch parece ser mayor que algo de dimensión 1, y menor que algo de dimensión 2. La idea de la dimensión de similitud es dar una dimensión que dé una mejor idea de la longitud o el área de los fractales. Así que, para una Curva de Koch, queremos una dimensión entre 1 y 2.

La Curva de Koch se puede cortar en cuatro trozos, cada uno de los cuales es 1 3 {\frac {1}{3}} del tamaño del original. Llamamos N al número de trozos en que se puede cortar un fractal {\displaystyle N} , y llamamos B a la diferencia de tamaño {\displaystyle B} . Los ponemos en la ecuación:

log N - log B {\displaystyle {\frac {\log N}{-\log B}}

Donde log {\displaystyle \log } es el logaritmo de un número. Este número es la Dimensión de Hausdorff del fractal. En la Curva de Koch, es log 4 - log 1 3 = 1,2619... {\displaystyle {\frac {\log 4}{-\frac {1}{3}}}}=1,2619... } como queríamos.

La curva de Koch es una de las formas fractales más simples, por lo que su dimensión es fácil de calcular. Su dimensión de similitud y su dimensión de Hausdorff son iguales. Esto no ocurre con los fractales más complejos.

Copo de nieve Koch

El copo de nieve de Koch (o estrella de Koch) es lo mismo que la curva de Koch, excepto que comienza con un triángulo equilátero en lugar de un segmento de línea.

Cómo hacer la curva de Koch

Utiliza

Los fractales tienen muchas aplicaciones, por ejemplo, en biología (pulmón, riñones, variabilidad del ritmo cardíaco, etc.), en terremotos, en finanzas, donde se relacionan con las llamadas distribuciones de cola pesada, y en física. Esto indica que hay que estudiar los fractales para entender por qué son tan frecuentes en la naturaleza.

Algunos fractales existen sólo por razones artísticas, pero otros son muy útiles. Los fractales son formas muy eficaces para las antenas de radio y se utilizan en los chips de los ordenadores para conectar eficazmente todos los componentes. También las líneas de costa pueden considerarse fractales.