Teorema de inversión de la transformada de Fourier: definición y reconstrucción

Aprende el teorema de inversión de la transformada de Fourier: definición, condiciones y métodos para reconstruir funciones a partir de su transformada con ejemplos claros.

En matemáticas, el teorema de la inversión de Fourier dice que para muchos tipos de funciones es posible recuperar una función a partir de su transformada de Fourier. Intuitivamente, puede verse como la afirmación de que si conocemos toda la información de frecuencia y fase de una onda, podemos reconstruir la onda original con precisión.

Fórmula de inversión

Sea f una función con transformada de Fourier F definida por la convención

F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(x) e^{-i ω x} dx.

Entonces la fórmula de inversión (en la convención que emplea 2π en la transformada inversa) es

f(x) = (1 / 2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω x} dω.

En otras convenciones se distribuyen factores de 2π simétricamente, por ejemplo

F(ω) = (1/√(2π)) ∫ f(x) e^{-i ω x} dx, f(x) = (1/√(2π)) ∫ F(ω) e^{i ω x} dω.

Condiciones para la reconstrucción

La inversión no vale para todas las funciones sin condiciones: hace falta hipótesis que garanticen que las integrales convergen y que la transformada contiene la información suficiente. Algunas condiciones habituales son:

• Funciones integrables (L¹): si f ∈ L¹(ℝ) y además su transformada F ∈ L¹(ℝ), entonces la fórmula de inversión recupera f casi en todas partes y de forma uniforme si f es continua.
• Espacio L² (Plancherel): si f ∈ L²(ℝ), la transformada de Fourier se define inicialmente en L² y la inversión se interpreta en sentido cuadrático (convergencia en norma L²). En este caso existe una extensión unitaria de la transformada (teorema de Plancherel) y f se recupera a partir de F casi everywhere en la clase de equivalencia de L².
• Funciones suaves y de rápida disminución: para f en la clase de Schwartz (funciones infinitamente diferenciables que decrecen rápidamente) la inversión se cumple punto por punto y sin problemas técnicos. Este es el caso más simple para desarrollar teoría.
• Distribuciones temperadas: la inversión se extiende al espacio de distribuciones temperadas; así la transformada e inversión se usan cuando f no es una función clásica (por ejemplo, la delta de Dirac).

Idea de la demostración

Existen varias demostraciones según el nivel de generalidad; aquí una idea heurística para funciones adecuadas:

• Aplicar la transformada de Fourier dos veces y usar la identidad transformada de la misma operación para llegar a una convolución con una aproximación de la identidad.
• Emplear una familia de núcleos (por ejemplo, gausianas de varianza pequeña) cuya transformada sea conocida y que actuarán como aproximaciones de la delta de Dirac al tomar un parámetro → 0. Convolucionando f con esos núcleos se obtiene una sucesión que converge a f, y su transformada está relacionada con F multiplicada por la transformada del núcleo.
• Tomando el límite e intercambiando integrales justificadamente, aparece la fórmula inversa.

Ejemplos y propiedades útiles

• Gaussiana: si f(x) = e^{-a x²} con Re(a) > 0, su transformada es proporcional a otra gaussiana: F(ω) = √(π / a) e^{-ω² / (4a)}. Esto muestra que las gausianas son “estables” frente a la transformada de Fourier y facilita la demostración de la inversión mediante aproximaciones gaussianas.
• Unicidad: la transformada de Fourier es inyectiva en las clases adecuadas: si la transformada es cero (casi en todas partes), entonces la función original es cero (en sentido L¹ o L² según el contexto).
• Plancherel / Parseval: para f, g ∈ L²(ℝ) se cumple ∫ f(x) overline{g(x)} dx = (1 / 2π) ∫ F(ω) overline{G(ω)} dω (dependiendo de la convención de 2π). Esto convierte la transformada en una isometría entre espacios L².

Extensiones y alta generalidad

La formulación clásica se da en ℝⁿ con integrales múltiples y factores de normalización adecuados; la teoría se extiende a señales discretas (transformada discreta de Fourier) y a espacios de funciones más generales mediante la teoría de distribuciones. Para problemas de EDP (ecuaciones en derivadas parciales), la inversión de Fourier permite resolver ecuaciones lineales transformando la ecuación en el dominio de la frecuencia, resolviendo allí y transformando de vuelta.

Aplicaciones prácticas

• Procesamiento de señales: recuperar una señal temporal a partir de su espectro de frecuencia y fase.
• Imagen médica y tomografía: reconstrucción de imágenes a partir de datos en el dominio de Fourier (por ejemplo, en resonancia magnética).
• Óptica y física cuántica: relación entre función de onda y su representación en momento; análisis de patrones de difracción.
• Compresión y filtrado: manipular la transformada (atenuar o eliminar frecuencias) y luego invertir para obtener la señal filtrada.

Comentarios sobre convenciones y cuidado práctico

Es importante fijar la convención de factores 2π al definir la transformada y su inversa: distintas ramas (matemáticas puras, ingeniería, procesamiento de señales) usan convenciones distintas. Además, en aplicaciones numéricas la transformada discreta de Fourier (DFT) y su algoritmo rápido (FFT) implementan la idea de inversión de forma computable, pero requieren tratar aliasing, muestreo y ventanas para obtener reconstrucciones fieles.

En resumen, el teorema de inversión de la transformada de Fourier formaliza la intuición de que conocer la representación en frecuencias (módulo y fase) de una señal equivale a conocer la señal misma, siempre que se cumplan las condiciones matemáticas apropiadas para garantizar existencia y convergencia de las integrales.

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