Un grupo de puntos es un conjunto de operaciones de simetría que forman un grupo matemático, para el que al menos un punto permanece fijo bajo todas las operaciones del grupo. Un grupo de puntos cristalográficos es un grupo de puntos que trabaja con simetría traslacional en tres dimensiones. Hay un total de 32 grupos de puntos cristalográficos, 30 de los cuales son relevantes para la química. Los científicos utilizan la notación de Schoenflies para clasificar los grupos puntuales.
Teoría de grupos
Las matemáticas definen un grupo. Un conjunto de operaciones de simetría forman un grupo cuando:
- el resultado de la aplicación consecutiva (composición) de dos operaciones cualesquiera es también un miembro del grupo (cierre).
- la aplicación de las operaciones es asociativa: A(BC) = (AB)C
- el grupo contiene la operación de identidad, denotada E, tal que AE = EA = A para cualquier operación A en el grupo.
- Para cada operación A en el grupo, existe un elemento inverso A −1en el grupo, para el cual AA −1= A −1A = E
El orden de un grupo es el número de operaciones de simetría para ese grupo.
Por ejemplo, el grupo puntual de la molécula de agua es C2v , con operaciones de simetría E, C2 , σ vy σ v'. Su orden es, por tanto, 4. Cada operación es su propia inversa. Como ejemplo de cierre, una rotación C2de una reflexión σ se vve como una operación de simetría σ v': σ v*C 2= σ v'. (Nótese que "Operación A seguida de B para formar C" se escribe BA = C).
Otro ejemplo es la molécula de amoníaco, que es piramidal y contiene un eje de rotación triple, así como tres planos especulares con un ángulo de 120° entre sí. Cada plano especular contiene un enlace N-H y biseca el ángulo de enlace H-N-H opuesto a ese enlace. Así pues, la molécula de amoníaco pertenece al grupo de puntos C3v, que tiene un orden 6: un elemento de identidad E, dos operaciones de rotación C 3y C 32, y tres reflejos de espejo σ v, σ v' y σ v".
Grupos de puntos comunes
La siguiente tabla contiene una lista de grupos puntuales con moléculas representativas. La descripción de la estructura incluye formas comunes de moléculas basadas en la teoría VSEPR.
| Grupo de puntos | Elementos de simetría | Descripción simple, quiral en su caso | Especies ilustrativas |
| C 1 | E | sin simetría, quiral | CFClBrH, ácido lisérgico |
| C s | E σ h | planar, sin otra simetría | cloruro de tionilo, ácido hipocloroso |
| C i | E i | Centro de inversión | anti-1,2-dicloro-1,2-dibromoetano |
| C ∞v | E 2C∞ σ v | lineal | cloruro de hidrógeno, monóxido de carbono |
| D ∞h | E 2C ∞∞σ ii 2S ∞∞C 2 | lineal con centro de inversión | dihidrógeno, anión azida, dióxido de carbono |
| C 2 | E C 2 | "geometría de libro abierto", quiral | peróxido de hidrógeno |
| C 3 | E C 3 | hélice, chiral | trifenilfosfina |
| C 2h | E C2 i σ h | planar con centro de inversión | trans-1,2-dicloroetileno |
| C 3h | E C 3C32 σ hS 3S 35 | hélice | Ácido bórico |
| C 2v | E C2 σv (xz) σ v'(yz) | angular (H 2O) o de balancín (SF4) | agua, tetrafluoruro de azufre, fluoruro de azufre |
| C 3v | E 2C 33σ v | trigonal piramidal | amoníaco, oxicloruro de fósforo |
| C 4v | E 2C 4C 22σ v2σ d | pirámide cuadrada | oxitetrafluoruro de xenón |
| D 2 | E C2 (x) C2(y) C 2(z) | giro, quiral | conformación de torsión del ciclohexano |
| D 3 | E C3 (z) 3C 2 | triple hélice, quiral | Catión Tris(etilendiamina)cobalto(III) |
| D 2h | E C2 (z) C2 (y) C2 (x) i σ(xy) σ(xz) σ(yz) | planar con centro de inversión | etileno, tetróxido de dinitrógeno, diborano |
| D 3h | E 2C 33C2 σ h2S 33σ v | trigonal planar o trigonal bipiramidal | trifluoruro de boro, pentacloruro de fósforo |
| D 4h | E 2C 4C 22C 2' 2C 2i 2S4 σ h2σ v2σ d | cuadrado planar | tetrafluoruro de xenón |
| D 5h | E 2C 52C 525C2 σ h2S 52S 535σ v | pentagonal | rutenoceno, ferroceno eclipsado, 70fullereno C |
| D 6h | E 2C 62C 3C 23C 2' 3C 2i 3S 32S63 σ h3σ d3σ v | hexagonal | benceno, bis(benceno)cromo |
| D 2d | E 2S4 C2 2C 2' 2σ d | Giro de 90º | aleno, tetranitruro de azufre |
| D 3d | E C 33C 2i 2S 63σ d | Giro de 60°. | etano (rotámero escalonado), conformación de silla del ciclohexano |
| D 4d | E 2S 82C 42S 83C 24C 2' 4σ d | Giro de 45°. | decacarbonilo de dimanganeso (rotámetro escalonado) |
| D 5d | E 2C 52C 525C 2i 3S 1032S 105σ d | Giro de 36°. | ferroceno (rotámero escalonado) |
| T d | E 8C 33C 26S 46σ d | tetraédrica | metano, pentóxido de fósforo, adamantano |
| O h | E 8C36C 26C 43C 2i 6S 48S 63σ h6σ d | octaédrica o cúbica | cubano, hexafluoruro de azufre |
| I h | E 12C 512C 5220C 315C 2i 12S 1012S 10320S 615σ | icosaédrica | C60 , B12H 122- |
Representaciones
Las operaciones de simetría se pueden escribir de muchas maneras. Una buena forma de escribirlas es utilizando matrices. Para cualquier vector que represente un punto en coordenadas cartesianas, al multiplicarlo por la izquierda se obtiene el nuevo lugar del punto transformado por la operación de simetría. La composición de las operaciones se realiza mediante la multiplicación de matrices. En el 2vejemplo de C esto es:
[ - 1 0 0 0 - 1 0 0 1 ] ⏟ C 2 × [ 1 0 0 0 - 1 0 0 1 ] ⏟ σ v = [ - 1 0 0 1 0 0 1 ] ⏟ σ v ′ {\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}-1&&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}} _{C_{2}}\times \underbrace {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}} _{\sigma _{v}}=\underbrace {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}} ...y el número de personas que se han quedado sin hogar. 
Aunque existe un número infinito (eterno) de representaciones (formas de mostrar las cosas), las representaciones irreducibles (o "irreps") del grupo son las que se utilizan habitualmente, ya que todas las demás representaciones del grupo pueden describirse como una combinación lineal de las representaciones irreducibles. (Las irreps abarcan el espacio vectorial de las operaciones de simetría.) Los químicos utilizan las irreps para clasificar los grupos de simetría y hablar de sus propiedades.
