Problemas de Hilbert
En 1900, el matemático David Hilbert publicó una lista de 23 problemas matemáticos sin resolver. La lista de problemas resultó ser muy influyente. Tras la muerte de Hilbert, se encontró otro problema en sus escritos, que hoy se conoce como el 24º problema de Hilbert. Este problema consiste en encontrar un criterio para demostrar que la solución de un problema es la más sencilla posible.
De los 23 problemas, tres estaban sin resolver en 2012, tres eran demasiado vagos para ser resueltos y seis podían ser parcialmente resueltos. Dada la influencia de los problemas, el Instituto Clay de Matemáticas formuló una lista similar, denominada Problemas del Premio del Milenio en 2000.
Resumen
La formulación de algunos problemas es mejor que la de otros. De los problemas de Hilbert formulados limpiamente, los problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 y 21 tienen una resolución aceptada por consenso. Por otro lado, los problemas 1, 2, 5, 9, 15, 18 +y 22 tienen soluciones que tienen una aceptación parcial, pero existe cierta controversia sobre si resuelve el problema.
La solución del problema 18, la conjetura de Kepler, utiliza una prueba asistida por ordenador. Esto es controvertido, porque un lector humano es incapaz de verificar la prueba en un tiempo razonable.
Esto deja sin resolver la 16, la 8 (la hipótesis de Riemann) y la 12. En esta clasificación, la 4, la 16 y la 23 son demasiado imprecisas como para calificarlas de resueltas. El retirado 24 también estaría en esta clase. El 6 se considera un problema de física más que de matemáticas.
Tabla de problemas
Los veintitrés problemas de Hilbert son:
| Problema | Breve explicación | Estado | Año resuelto |
| 1º | La hipótesis del continuo (es decir, no existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente comprendida entre la de los números enteros y la de los números reales) | Se ha demostrado que es imposible demostrar o refutar dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con o sin el Axioma de Elección (siempre que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con o sin el Axioma de Elección sea consistente, es decir, que no contenga dos teoremas tales que uno sea la negación del otro). No hay consenso sobre si esto es una solución al problema. | 1963 |
| 2do. | Demuestra que los axiomas de la aritmética son consistentes. | No hay consenso sobre si los resultados de Gödel y Gentzen dan una solución al problema planteado por Hilbert. El segundo teorema de incompletitud de Gödel, demostrado en 1931, muestra que no se puede demostrar su consistencia dentro de la propia aritmética. La prueba de consistencia de Gentzen (1936) muestra que la consistencia de la aritmética se desprende de la fundamentación del ordinal ε 0. | 1936? |
| 3ª | Dados dos poliedros cualesquiera de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en un número finito de piezas poliédricas que se puedan volver a ensamblar para obtener el segundo? | Resuelto. Resultado: no, demostrado mediante invariantes de Dehn. | 1900 |
| 4ª. | Construye todas las métricas donde las líneas son geodésicas. | Demasiado vago para ser declarado resuelto o no. | - |
| 5º | ¿Los grupos continuos son automáticamente grupos diferenciales? | Resuelta por Andrew Gleason o Hidehiko Yamabe, dependiendo de cómo se interprete el enunciado original. Sin embargo, si se entiende como un equivalente de la conjetura de Hilbert-Smith, sigue sin resolverse. | 1953? |
| 6º | Axiomatizar toda la física | Resuelto parcialmente. | - |
| 7º | Es un btrascendental, para la algebraica a ≠ 0,1 y la algebraica irracional b ? | Resuelto. Resultado: sí, ilustrado por el teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider. | 1934 |
| 8ª | La hipótesis de Riemann ("la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½") y otros problemas de números primos, entre ellos la conjetura de Goldbach y la conjetura de los primos gemelos | Sin resolver. | - |
| Noveno | Encuentra la ley más general del teorema de reciprocidad en cualquier campo numérico algebraico | Resuelto parcialmente. | - |
| 10ª edición | Encontrar un algoritmo para determinar si una ecuación polinómica diofantina dada con coeficientes enteros tiene una solución entera. | Resuelto. Resultado: imposible, el teorema de Matiyasevich implica que no existe tal algoritmo. | 1970 |
| 11º | Resolución de formas cuadráticas con coeficientes numéricos algebraicos. | Resuelto parcialmente. [] | - |
| 12º | Extender el teorema de Kronecker-Weber sobre extensiones abelianas de los números racionales a cualquier campo numérico de base. | Resuelto en parte por la teoría del campo de clases, aunque la solución no es tan explícita como el teorema de Kronecker-Weber. | - |
| 13ª edición | Resolución de ecuaciones de 7º grado mediante funciones continuas de dos parámetros. | Sin resolver. El problema fue parcialmente resuelto por Vladimir Arnold basándose en los trabajos de Andrey Kolmogorov. | 1957 |
| 14º | ¿Es el anillo de invariantes de un grupo algebraico que actúa sobre un anillo de polinomios siempre finitamente generado? | Resuelto. Resultado: no, el contraejemplo fue construido por Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15ª edición | Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert. | Resuelto parcialmente. [] | - |
| 16. | Describir las posiciones relativas de los óvalos con origen en una curva algebraica real y como ciclos límite de un campo vectorial polinómico en el plano. | Sin resolver. | - |
| 17ª edición | Expresión de una función racional definida como cociente de sumas de cuadrados | Resuelto por Emil Artin y Charles Delzell. Resultado: Se estableció un límite superior para el número de términos cuadrados necesarios. Encontrar un límite inferior sigue siendo un problema abierto. | 1927 |
| 18º | (a) ¿Existe un poliedro que sólo admita un mosaico anisoédrico en tres dimensiones? | (a) Resuelto. Resultado: sí (por Karl Reinhardt). |
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| 19ª edición | ¿Son siempre analíticas las soluciones de los lagrangianos? | Resuelto. Resultado: sí, demostrado por Ennio de Giorgi y, de forma independiente y con métodos diferentes, por John Forbes Nash. | 1957 |
| 20º | ¿Tienen solución todos los problemas variacionales con determinadas condiciones de contorno? | Resuelto. Un tema importante de investigación a lo largo del siglo XX, que culminó con soluciones []para el caso no lineal. | - |
| 21ª edición | Prueba de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tienen un grupo monodrómico prescrito | Resuelto. Resultado: Sí o no, dependiendo de formulaciones más exactas del problema. [] | - |
| 22ª edición | Uniformización de relaciones analíticas mediante funciones automórficas | Resuelto. [] | - |
| 23ª edición | Desarrollo del cálculo de variaciones | Sin resolver. | - |
Preguntas y respuestas
P: ¿Quién publicó una lista de 23 problemas matemáticos sin resolver en 1900?
R: David Hilbert publicó una lista de 23 problemas matemáticos sin resolver en 1900.
P: ¿Formaba parte de la lista original el 24º problema de Hilbert?
R: No, el 24º problema de Hilbert se encontró en los escritos de Hilbert después de su muerte.
P: ¿De qué trata el problema 24 de Hilbert?
R: El 24º problema de Hilbert trata de encontrar criterios para demostrar que la solución a un problema es la más sencilla posible.
P: ¿Se resolvieron los 23 problemas de la lista de Hilbert en 2012?
R: No, tres de los 23 problemas de la lista de Hilbert estaban sin resolver en 2012.
P: ¿Alguno de los problemas de la lista de Hilbert era demasiado vago para ser resuelto?
R: Sí, tres de los problemas de la lista de Hilbert eran demasiado vagos para ser resueltos.
P: ¿Cuántos de los problemas de la lista de Hilbert podían resolverse parcialmente?
R: Seis de los problemas de la lista de Hilbert podían resolverse parcialmente.
P: ¿Creó el Instituto Clay de Matemáticas una lista similar a los problemas de Hilbert?
R: Sí, el Instituto Clay de Matemáticas creó una lista similar llamada Problemas del Premio del Milenio en el año 2000.
