En 1900, el matemático David Hilbert publicó una lista de 23 problemas matemáticos sin resolver. La lista de problemas resultó ser muy influyente. Tras la muerte de Hilbert, se encontró otro problema en sus escritos, que hoy se conoce como el 24º problema de Hilbert. Este problema consiste en encontrar un criterio para demostrar que la solución de un problema es la más sencilla posible.

La presentación de Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticos de París no sólo marcó una agenda de investigación para el siglo XX, sino que también impulsó el desarrollo de nuevas técnicas y áreas (como la lógica matemática, la teoría de números, la topología y la teoría de grupos). Muchos de los problemas exigían no solo respuestas concretas, sino la creación de nuevas herramientas y de marcos conceptuales.

¿Qué eran los 23 problemas?

Los 23 problemas abarcan temas muy diversos: lógica y fundamentos de las matemáticas, teoría de números, geometría algebraica y diferencial, teoría de grupos, ecuaciones en derivadas parciales, y cuestiones de análisis y probabilidad. Hilbert planteó algunos problemas de forma precisa y otros de manera más programática o filosófica, proponiendo direcciones de trabajo más que cuestiones cerradas.

Algunos problemas notables y su destino

  • Hipótesis de Riemann (Problema 8): una de las preguntas más famosas y aún no resueltas en matemáticas; su solución tendría profundas consecuencias en la teoría de números.
  • Consistencia de la aritmética (Problema 2): Hilbert buscaba una demostración finitaria de la consistencia de la aritmética. El trabajo de Kurt Gödel (teoremas de incompletitud, 1931) mostró límites fundamentales a ese programa, lo que transformó la interpretación de este problema en lugar de ofrecer una prueba positiva en los términos que Hilbert esperaba.
  • Problema 10 (ecuaciones diofánticas): planteaba un método general para decidir si una ecuación diofántica tiene soluciones enteras. Fue resuelto negativamente por Yuri Matiyasevich (completando el trabajo de Davis, Putnam y Robinson) en 1970: no existe un algoritmo general que decida todas las ecuaciones diofánticas.
  • Problema 3 (equivalencia por descomposición de poliedros): resuelto por Max Dehn a principios del siglo XX mediante lo que hoy se llama el invariante de Dehn.
  • Problema 7 (transcendencia): sobre la trascendencia de ciertas expresiones a^b con a algebraica no 0 o 1 y b irracional algebraico; fue resuelto por el teorema de Gelfond–Schneider y ampliaciones posteriores (teoría de números trascendentes).
  • Problema 5 (grupos de Lie): preguntaba si una topología de grupo con cierta regularidad local debía ser necesariamente una variedad de Lie; la respuesta positiva llegó con trabajos de Gleason, Montgomery, Zippin y otros en la mitad del siglo XX.
  • Problema 6 (axiomatización de la física): Hilbert propuso la axiomatización de las teorías físicas; ha habido progreso en aspectos particulares (por ejemplo, en la formulación matemática de mecánica cuántica y relatividad), pero la tarea global de axiomatizar toda la física sigue siendo un programa abierto y en evolución.
  • Problema 16 (geometría algebraica real): —especialmente la parte sobre la posición de curvas algebraicas reales y sus componentes— sigue teniendo aspectos no resueltos y genera investigación activa.

Estado de los problemas y su evaluación

Algunos de los 23 problemas fueron completamente resueltos, otros recibieron soluciones parciales o reformulaciones, y varios dieron lugar a áreas enteras de investigación. Según evaluaciones publicadas alrededor de 2012, tres de los problemas se consideraban sin resolver por entonces, tres eran demasiado vagos en su formulación original para tener una solución única, y seis admitían soluciones parciales. Desde entonces ha habido avances en diversos problemas, pero varios mantienen partes abiertas

A 2024, el panorama es el resultado de un siglo de trabajo: algunos problemas fueron resueltos de modo definitivo, otros resultaron ser indecidibles en el marco habitual (por ejemplo, la independencia de la Hipótesis del Continuo respecto a los axiomas de ZFC es un resultado moderno que responde a la forma en que Hilbert había planteado el problema), y varios siguen siendo fuente de investigación activa (la Hipótesis de Riemann y ciertos aspectos del 16.º problema son ejemplos destacados).

El 24º problema y su significado

El llamado 24º problema no fue publicado por Hilbert en 1900, sino que apareció en apuntes encontrados tras su muerte. Propone investigar criterios para evaluar la simplicidad y la "buenidad" de las demostraciones matemáticas: ¿cómo comparar pruebas, cómo saber que una demostración es la más sencilla o más natural? Esta cuestión influyó en el estudio moderno de la complejidad de las pruebas y en áreas como la teoría de la demostración y la automatización de la demostración (teoremas asistidos por ordenador).

Legado e influencia

La lista de Hilbert tuvo efectos profundos:

  • Orientó la investigación matemática del siglo XX y fomentó la aparición de nuevas ramas y técnicas.
  • Propició debates filosóficos y técnicos sobre los fundamentos (por ejemplo, por la influencia de Gödel).
  • Inspiró listas contemporáneas de retos matemáticos, como los Problemas del Premio del Milenio (Clay Institute), que retoman la idea de plantear preguntas difíciles cuyo avance impulsa la disciplina.

Para quien quiera profundizar: conviene leer los enunciados originales (traducciones al español o al inglés) y las historias individuales de cada problema, porque muchas “soluciones” implican desarrollos teóricos extensos, resultados parciales, reformulaciones o, en algunos casos, demostraciones de que la pregunta es indecidible en ciertos marcos axiomáticos.