Problemas de Hilbert: definición y los 23 retos matemáticos de 1900
Descubre los 23 problemas de Hilbert (y el 24º oculto): historia, impacto y retos matemáticos que marcaron el siglo XX. ¿Cuáles siguen sin resolver?
En 1900, el matemático David Hilbert publicó una lista de 23 problemas matemáticos sin resolver. La lista de problemas resultó ser muy influyente. Tras la muerte de Hilbert, se encontró otro problema en sus escritos, que hoy se conoce como el 24º problema de Hilbert. Este problema consiste en encontrar un criterio para demostrar que la solución de un problema es la más sencilla posible.
La presentación de Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticos de París no sólo marcó una agenda de investigación para el siglo XX, sino que también impulsó el desarrollo de nuevas técnicas y áreas (como la lógica matemática, la teoría de números, la topología y la teoría de grupos). Muchos de los problemas exigían no solo respuestas concretas, sino la creación de nuevas herramientas y de marcos conceptuales.
¿Qué eran los 23 problemas?
Los 23 problemas abarcan temas muy diversos: lógica y fundamentos de las matemáticas, teoría de números, geometría algebraica y diferencial, teoría de grupos, ecuaciones en derivadas parciales, y cuestiones de análisis y probabilidad. Hilbert planteó algunos problemas de forma precisa y otros de manera más programática o filosófica, proponiendo direcciones de trabajo más que cuestiones cerradas.
Algunos problemas notables y su destino
- Hipótesis de Riemann (Problema 8): una de las preguntas más famosas y aún no resueltas en matemáticas; su solución tendría profundas consecuencias en la teoría de números.
- Consistencia de la aritmética (Problema 2): Hilbert buscaba una demostración finitaria de la consistencia de la aritmética. El trabajo de Kurt Gödel (teoremas de incompletitud, 1931) mostró límites fundamentales a ese programa, lo que transformó la interpretación de este problema en lugar de ofrecer una prueba positiva en los términos que Hilbert esperaba.
- Problema 10 (ecuaciones diofánticas): planteaba un método general para decidir si una ecuación diofántica tiene soluciones enteras. Fue resuelto negativamente por Yuri Matiyasevich (completando el trabajo de Davis, Putnam y Robinson) en 1970: no existe un algoritmo general que decida todas las ecuaciones diofánticas.
- Problema 3 (equivalencia por descomposición de poliedros): resuelto por Max Dehn a principios del siglo XX mediante lo que hoy se llama el invariante de Dehn.
- Problema 7 (transcendencia): sobre la trascendencia de ciertas expresiones a^b con a algebraica no 0 o 1 y b irracional algebraico; fue resuelto por el teorema de Gelfond–Schneider y ampliaciones posteriores (teoría de números trascendentes).
- Problema 5 (grupos de Lie): preguntaba si una topología de grupo con cierta regularidad local debía ser necesariamente una variedad de Lie; la respuesta positiva llegó con trabajos de Gleason, Montgomery, Zippin y otros en la mitad del siglo XX.
- Problema 6 (axiomatización de la física): Hilbert propuso la axiomatización de las teorías físicas; ha habido progreso en aspectos particulares (por ejemplo, en la formulación matemática de mecánica cuántica y relatividad), pero la tarea global de axiomatizar toda la física sigue siendo un programa abierto y en evolución.
- Problema 16 (geometría algebraica real): —especialmente la parte sobre la posición de curvas algebraicas reales y sus componentes— sigue teniendo aspectos no resueltos y genera investigación activa.
Estado de los problemas y su evaluación
Algunos de los 23 problemas fueron completamente resueltos, otros recibieron soluciones parciales o reformulaciones, y varios dieron lugar a áreas enteras de investigación. Según evaluaciones publicadas alrededor de 2012, tres de los problemas se consideraban sin resolver por entonces, tres eran demasiado vagos en su formulación original para tener una solución única, y seis admitían soluciones parciales. Desde entonces ha habido avances en diversos problemas, pero varios mantienen partes abiertas
A 2024, el panorama es el resultado de un siglo de trabajo: algunos problemas fueron resueltos de modo definitivo, otros resultaron ser indecidibles en el marco habitual (por ejemplo, la independencia de la Hipótesis del Continuo respecto a los axiomas de ZFC es un resultado moderno que responde a la forma en que Hilbert había planteado el problema), y varios siguen siendo fuente de investigación activa (la Hipótesis de Riemann y ciertos aspectos del 16.º problema son ejemplos destacados).
El 24º problema y su significado
El llamado 24º problema no fue publicado por Hilbert en 1900, sino que apareció en apuntes encontrados tras su muerte. Propone investigar criterios para evaluar la simplicidad y la "buenidad" de las demostraciones matemáticas: ¿cómo comparar pruebas, cómo saber que una demostración es la más sencilla o más natural? Esta cuestión influyó en el estudio moderno de la complejidad de las pruebas y en áreas como la teoría de la demostración y la automatización de la demostración (teoremas asistidos por ordenador).
Legado e influencia
La lista de Hilbert tuvo efectos profundos:
- Orientó la investigación matemática del siglo XX y fomentó la aparición de nuevas ramas y técnicas.
- Propició debates filosóficos y técnicos sobre los fundamentos (por ejemplo, por la influencia de Gödel).
- Inspiró listas contemporáneas de retos matemáticos, como los Problemas del Premio del Milenio (Clay Institute), que retoman la idea de plantear preguntas difíciles cuyo avance impulsa la disciplina.
Para quien quiera profundizar: conviene leer los enunciados originales (traducciones al español o al inglés) y las historias individuales de cada problema, porque muchas “soluciones” implican desarrollos teóricos extensos, resultados parciales, reformulaciones o, en algunos casos, demostraciones de que la pregunta es indecidible en ciertos marcos axiomáticos.
Resumen
La formulación de algunos problemas es mejor que la de otros. De los problemas de Hilbert formulados limpiamente, los problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 y 21 tienen una resolución aceptada por consenso. Por otro lado, los problemas 1, 2, 5, 9, 15, 18 +y 22 tienen soluciones que tienen una aceptación parcial, pero existe cierta controversia sobre si resuelve el problema.
La solución del problema 18, la conjetura de Kepler, utiliza una prueba asistida por ordenador. Esto es controvertido, porque un lector humano es incapaz de verificar la prueba en un tiempo razonable.
Esto deja sin resolver la 16, la 8 (la hipótesis de Riemann) y la 12. En esta clasificación, la 4, la 16 y la 23 son demasiado imprecisas como para calificarlas de resueltas. El retirado 24 también estaría en esta clase. El 6 se considera un problema de física más que de matemáticas.
Tabla de problemas
Los veintitrés problemas de Hilbert son:
| Problema | Breve explicación | Estado | Año resuelto |
| 1º | La hipótesis del continuo (es decir, no existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente comprendida entre la de los números enteros y la de los números reales) | Se ha demostrado que es imposible demostrar o refutar dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con o sin el Axioma de Elección (siempre que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con o sin el Axioma de Elección sea consistente, es decir, que no contenga dos teoremas tales que uno sea la negación del otro). No hay consenso sobre si esto es una solución al problema. | 1963 |
| 2do. | Demuestra que los axiomas de la aritmética son consistentes. | No hay consenso sobre si los resultados de Gödel y Gentzen dan una solución al problema planteado por Hilbert. El segundo teorema de incompletitud de Gödel, demostrado en 1931, muestra que no se puede demostrar su consistencia dentro de la propia aritmética. La prueba de consistencia de Gentzen (1936) muestra que la consistencia de la aritmética se desprende de la fundamentación del ordinal ε 0. | 1936? |
| 3ª | Dados dos poliedros cualesquiera de igual volumen, ¿es siempre posible cortar el primero en un número finito de piezas poliédricas que se puedan volver a ensamblar para obtener el segundo? | Resuelto. Resultado: no, demostrado mediante invariantes de Dehn. | 1900 |
| 4ª. | Construye todas las métricas donde las líneas son geodésicas. | Demasiado vago para ser declarado resuelto o no. | - |
| 5º | ¿Los grupos continuos son automáticamente grupos diferenciales? | Resuelta por Andrew Gleason o Hidehiko Yamabe, dependiendo de cómo se interprete el enunciado original. Sin embargo, si se entiende como un equivalente de la conjetura de Hilbert-Smith, sigue sin resolverse. | 1953? |
| 6º | Axiomatizar toda la física | Resuelto parcialmente. | - |
| 7º | Es un btrascendental, para la algebraica a ≠ 0,1 y la algebraica irracional b ? | Resuelto. Resultado: sí, ilustrado por el teorema de Gelfond o el teorema de Gelfond-Schneider. | 1934 |
| 8ª | La hipótesis de Riemann ("la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½") y otros problemas de números primos, entre ellos la conjetura de Goldbach y la conjetura de los primos gemelos | Sin resolver. | - |
| Noveno | Encuentra la ley más general del teorema de reciprocidad en cualquier campo numérico algebraico | Resuelto parcialmente. | - |
| 10ª edición | Encontrar un algoritmo para determinar si una ecuación polinómica diofantina dada con coeficientes enteros tiene una solución entera. | Resuelto. Resultado: imposible, el teorema de Matiyasevich implica que no existe tal algoritmo. | 1970 |
| 11º | Resolución de formas cuadráticas con coeficientes numéricos algebraicos. | Resuelto parcialmente. [] | - |
| 12º | Extender el teorema de Kronecker-Weber sobre extensiones abelianas de los números racionales a cualquier campo numérico de base. | Resuelto en parte por la teoría del campo de clases, aunque la solución no es tan explícita como el teorema de Kronecker-Weber. | - |
| 13ª edición | Resolución de ecuaciones de 7º grado mediante funciones continuas de dos parámetros. | Sin resolver. El problema fue parcialmente resuelto por Vladimir Arnold basándose en los trabajos de Andrey Kolmogorov. | 1957 |
| 14º | ¿Es el anillo de invariantes de un grupo algebraico que actúa sobre un anillo de polinomios siempre finitamente generado? | Resuelto. Resultado: no, el contraejemplo fue construido por Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15ª edición | Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert. | Resuelto parcialmente. [] | - |
| 16. | Describir las posiciones relativas de los óvalos con origen en una curva algebraica real y como ciclos límite de un campo vectorial polinómico en el plano. | Sin resolver. | - |
| 17ª edición | Expresión de una función racional definida como cociente de sumas de cuadrados | Resuelto por Emil Artin y Charles Delzell. Resultado: Se estableció un límite superior para el número de términos cuadrados necesarios. Encontrar un límite inferior sigue siendo un problema abierto. | 1927 |
| 18º | (a) ¿Existe un poliedro que sólo admita un mosaico anisoédrico en tres dimensiones? | (a) Resuelto. Resultado: sí (por Karl Reinhardt). |
|
| 19ª edición | ¿Son siempre analíticas las soluciones de los lagrangianos? | Resuelto. Resultado: sí, demostrado por Ennio de Giorgi y, de forma independiente y con métodos diferentes, por John Forbes Nash. | 1957 |
| 20º | ¿Tienen solución todos los problemas variacionales con determinadas condiciones de contorno? | Resuelto. Un tema importante de investigación a lo largo del siglo XX, que culminó con soluciones []para el caso no lineal. | - |
| 21ª edición | Prueba de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tienen un grupo monodrómico prescrito | Resuelto. Resultado: Sí o no, dependiendo de formulaciones más exactas del problema. [] | - |
| 22ª edición | Uniformización de relaciones analíticas mediante funciones automórficas | Resuelto. [] | - |
| 23ª edición | Desarrollo del cálculo de variaciones | Sin resolver. | - |
Preguntas y respuestas
P: ¿Quién publicó una lista de 23 problemas matemáticos sin resolver en 1900?
R: David Hilbert publicó una lista de 23 problemas matemáticos sin resolver en 1900.
P: ¿Formaba parte de la lista original el 24º problema de Hilbert?
R: No, el 24º problema de Hilbert se encontró en los escritos de Hilbert después de su muerte.
P: ¿De qué trata el problema 24 de Hilbert?
R: El 24º problema de Hilbert trata de encontrar criterios para demostrar que la solución a un problema es la más sencilla posible.
P: ¿Se resolvieron los 23 problemas de la lista de Hilbert en 2012?
R: No, tres de los 23 problemas de la lista de Hilbert estaban sin resolver en 2012.
P: ¿Alguno de los problemas de la lista de Hilbert era demasiado vago para ser resuelto?
R: Sí, tres de los problemas de la lista de Hilbert eran demasiado vagos para ser resueltos.
P: ¿Cuántos de los problemas de la lista de Hilbert podían resolverse parcialmente?
R: Seis de los problemas de la lista de Hilbert podían resolverse parcialmente.
P: ¿Creó el Instituto Clay de Matemáticas una lista similar a los problemas de Hilbert?
R: Sí, el Instituto Clay de Matemáticas creó una lista similar llamada Problemas del Premio del Milenio en el año 2000.
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