Espacio métrico: definición, propiedades y ejemplos clave

Espacio métrico: definición clara, propiedades esenciales y ejemplos clave sobre distancia, simetría y desigualdad triangular para comprender topología y análisis.

El espacio métrico es un concepto de las matemáticas: Dado un conjunto de elementos, existe una función que toma dos argumentos, que son elementos del conjunto y devuelve un número real, que suele llamarse distancia d entre esos elementos. La función debe ser simétrica: d(x,y) = d(y,x).

Definición formal

Un espacio métrico es un par (X,d) donde X es un conjunto y d: X × X → R satisface, para todo x,y,z en X, las siguientes propiedades:

• No negatividad: d(x,y) ≥ 0.
• Identidad de indiscernibles: d(x,y) = 0 si y solo si x = y.
• Simetría: d(x,y) = d(y,x).
• Desigualdad triangular: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

Ejemplos clave

• Recta real: (R, d) con d(x,y) = |x − y|. Es el ejemplo más básico y genera la topología habitual en R.
• R^n con la norma euclidiana: d(x,y) = sqrt(∑_{i=1}^n (x_i − y_i)^2).
• Normas p en R^n: d_p(x,y) = (∑ |x_i − y_i|^p)^{1/p} para 1 ≤ p < ∞; p = ∞ da d_∞(x,y) = max_i |x_i − y_i|.
• Métrica discreta: d(x,y) = 0 si x = y, y 1 si x ≠ y. Induce la topología discreta (todos los conjuntos son abiertos).
• Distancia de edición (string edit distance): número mínimo de operaciones (inserciones, borrados, sustituciones) para transformar una palabra en otra. Muy usada en informática.
• Métrica de camino más corto (graphs): la distancia entre dos vértices es la longitud mínima de un camino que los une (si existe).
• Métrica uniforme en espacios de funciones: en C([a,b]) se define d(f,g) = sup_{x∈[a,b]} |f(x) − g(x)|.
• Distancia en la esfera: distancia geodésica entre dos puntos sobre una superficie (p. ej. en la esfera, el ángulo central entre dos radios).

Consecuencias y propiedades importantes

• Bolas abiertas y topología: La bola abierta de centro x y radio r>0 se define B(x,r) = {y ∈ X : d(x,y) < r}. Las bolas generan una topología metrizable; en particular, los espacios métricos son Hausdorff (dos puntos distintos tienen entornos disjuntos).
• Convergencia de sucesiones: Una sucesión (x_n) en X converge a x si d(x_n,x) → 0. En espacios métricos la convergencia de sucesiones caracteriza la topología.
• Sucesiones de Cauchy y completitud: (x_n) es de Cauchy si para todo ε>0 existe N tal que para m,n≥N, d(x_m,x_n)<ε. Un espacio métrico es completo si toda sucesión de Cauchy converge. Todo espacio métrico tiene una completación (única a isometría cerca de identidad), análoga a completar Q para obtener R.
• Continuidad: Una función f:(X,d_X) → (Y,d_Y) es continua en x si d_Y(f(x_n),f(x)) → 0 siempre que d_X(x_n,x) → 0. En métricas la noción explícita con ε–δ coincide con la topológica.
• Compacidad: En espacios métricos, la compacidad se puede caracterizar por la propiedad de Heine–Borel en algunos casos (p. ej. en R^n: compacto ⇔ cerrado y acotado). Más generalmente, compacidad implica completitud y separabilidad de ciertas maneras.
• Isometrías: Una aplicación f: X → Y que preserva distancias (d_Y(f(x),f(y)) = d_X(x,y)) se llama isometría; estas conservan todas las propiedades métricas (convergencia, Cauchy, completitud...).

Observaciones y ejemplos de uso

• La desigualdad triangular es la que más estructura aporta: permite estimar distancias indirectas y garantizar propiedades como la unicidad del límite de una sucesión convergente.
• En análisis funcional se trabaja con métricas inducidas por normas en espacios vectoriales (p. ej. espacios l^p, C(K) con la métrica uniforme), lo que facilita el estudio de convergencia de funciones y operadores.
• En informática y teoría de la información las métricas miden similitud (distancia de Hamming, distancia de Levenshtein), útiles en búsqueda de cadenas y corrección de errores.

Pequeñas demostraciones intuitivas

• Si x_n → x y x_n → y en un espacio métrico, entonces x = y: usando la desigualdad triangular, d(x,y) ≤ d(x,x_n) + d(x_n,y) → 0, así d(x,y) = 0 y por identidad de indiscernibles x = y.
• En la métrica discreta, cualquier sucesión que tome un valor infinitas veces converge a ese valor; si toma infinitos valores distintos no es Cauchy.

Conclusión

Los espacios métricos son una estructura fundamental que unifica y generaliza la idea de distancia en numerosos contextos: geometría euclidiana, análisis, topología, teoría de grafos y ciencias de la computación. Entender sus axiomas y sus consecuencias (bolas, convergencia, completitud, compacidad) es clave para progresar en muchas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones.

Búsqueda por letra