Axiomas de Zermelo-Fraenkel
La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (abreviada ZF) es un sistema de axiomas utilizado para describir la teoría de conjuntos. Cuando se añade el axioma de elección a ZF, el sistema se llama ZFC. Es el sistema de axiomas utilizado en la teoría de conjuntos por la mayoría de los matemáticos actuales.
Tras el descubrimiento de la paradoja de Russell en 1901, los matemáticos quisieron encontrar una forma de describir la teoría de conjuntos que no tuviera contradicciones. Ernst Zermelo propuso una teoría de conjuntos en 1908. En 1922, Abraham Fraenkel propuso una nueva versión basada en el trabajo de Zermelo.
Axiomas
Un axioma es un enunciado que se acepta sin discusión y que no tiene prueba. ZF contiene ocho axiomas.
- El axioma de extensión dice que dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Por ejemplo, el conjunto { 1 , 3 }
y el conjunto { 3 , 1 } { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { } } } } } }
son iguales. - El axioma de la fundación dice que todo conjunto S {estilo de visualización S}
(que no sea el conjunto vacío) contiene un elemento que es disjunto (no comparte ningún miembro) con S {estilo de visualización S} . - El axioma de especificación dice que, dado un conjunto S {estilo de visualización S} y un predicado F {estilo de visualización F}
(una función que es verdadera o falsa), que existe un conjunto que contiene exactamente aquellos elementos de S {estilo de visualización S} en los que F {estilo de visualización F} es verdadero. Por ejemplo, si S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} 
y F {\displaystyle F} es "este es un número par", entonces el axioma dice que el conjunto { 2 , 6 } {
existe. - El axioma del emparejamiento dice que dados dos conjuntos, existe un conjunto cuyos miembros son exactamente los dos conjuntos dados. Así, dados los dos conjuntos { 0 , 3 } {
y { 2 , 5 } {\a6}, este axioma dice que 
este axioma dice que el conjunto { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {
existe. - El axioma de la unión dice que para cualquier conjunto, existe un conjunto que está formado sólo por los elementos de los elementos de ese conjunto. Por ejemplo, dado el conjunto { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} este axioma dice que el conjunto { 0 , 3 , 2 , 5 } {
existe. - El axioma de sustitución dice que para cualquier conjunto S {estilo de visualización S} y una función F {estilo de visualización F} existe el conjunto formado por los resultados de llamar a F {estilo de visualización F} sobre todos los miembros de S {estilo de visualización S}. Por ejemplo, si S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S={1,2,3,5,6\}} y F {\displaystyle F} es "añadir diez a este número", entonces el axioma dice que el conjunto { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } {\displaystyle \{11,12,13,15,16\}}
existe. - El axioma del infinito dice que el conjunto de todos los números enteros (tal y como los define la construcción de Von Neumann) existe. Este es el conjunto { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
- El axioma del conjunto de potencias dice que el conjunto de potencias (el conjunto de todos los subconjuntos) de cualquier conjunto existe. Por ejemplo, el conjunto de potencias de { 2 , 5 } {es { { } , { 2 } , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}
Axioma de elección
El axioma de elección dice que es posible tomar un objeto de cada uno de los elementos de un conjunto y hacer un nuevo conjunto. Por ejemplo, dado el conjunto { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} el axioma de elección mostraría que un conjunto como { 3 , 5 } {
existe. Este axioma se puede demostrar a partir de los otros axiomas para conjuntos finitos, pero no para conjuntos infinitos.
