Elipse: definición, propiedades y ecuación (focos, construcción y órbitas)

Elipse: definición, propiedades y ecuación explicadas con focos, construcción paso a paso y ejemplos de órbitas planetarias. Fácil, visual y práctico.

Una elipse es una figura plana que recuerda a un óvalo o a un círculo aplanado. En geometría, una elipse es una curva plana cerrada que puede obtenerse como sección de un cono por un plano que corta al cono en forma que produce una curva cerrada.

Definición y propiedades básicas

• La elipse puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Esos dos puntos fijos se llaman focos.
• Un círculo es un caso especial de la elipse: ocurre cuando los dos semiejes son iguales (el plano de corte es perpendicular al eje del cono), por lo que la distancia a cada foco coincide y la figura resulta perfectamente simétrica.
• La elipse tiene dos ejes de simetría: el eje mayor (el segmento más largo que atraviesa el centro) y el eje menor (perpendicular al mayor en el centro).
• Si la distancia entre los focos y el centro es c y los semiejes son a (semieje mayor) y b (semieje menor), se cumple la relación fundamental c² = a² − b² (tomando a ≥ b).
• La excentricidad se define como e = c/a y mide cuánto se aleja la elipse del círculo; para una elipse 0 ≤ e < 1. Cuando e = 0 la elipse es un círculo.

Ecuación, elementos y formulaciones

La ecuación canónica de una elipse centrada en (h,k) con ejes alineados con los ejes coordenados es:

La ecuación de una elipse es : ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}=1}

De forma más legible, escribimos:

(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1,

• si a ≥ b, a es el semieje mayor y b el semieje menor. Los vértices del eje mayor son (h ± a, k) y los vértices del eje menor son (h, k ± b).
• Los focos están en (h ± c, k) con c = √(a² − b²).
• Si a < b, la elipse está “verticalmente alargada”: la forma equivalente intercambia a y b y los focos quedan en (h, k ± c).

Formas paramétricas y otras fórmulas

• Ecuación paramétrica (centro en (h,k), ejes alineados): x = h + a cos t, y = k + b sin t, con t ∈ [0, 2π).
• Área: A = π a b.
• Perímetro: no tiene una fórmula elemental en términos de raíces; se expresa con integrales elípticas. Una aproximación muy buena (Ramanujan) es: P ≈ π [3(a + b) − √{(3a + b)(a + 3b)}].
• Excentricidad: e = c/a = √(1 − b²/a²), con 0 ≤ e < 1.

Propiedades geométricas relevantes

• Propiedad reflectante: los rayos que parten de un foco y se reflejan en la elipse proceden hacia el otro foco (útil en óptica y acústica).
• Líneas directrices: para una elipse horizontal (centro en (h,k)) las directrices son las rectas x = h ± a/e; cada punto de la elipse dista de un foco una distancia e veces la distancia a la correspondiente directriz.
• Tangente y normal: la tangente a la elipse en un punto tiene ecuación que puede deducirse derivando la ecuación implícita; la normal es perpendicular a esa tangente.

Construcción práctica (método del jardinero)

Una forma sencilla de dibujar una elipse es con dos alfileres, una cuerda y un lápiz:

1. Clava dos alfileres en la cartulina en las posiciones de los focos.
2. Ata una cuerda formando un lazo que rodee ambos alfileres y cuya longitud sea mayor que la distancia entre focos y igual a la suma fija de distancias (2a).
3. Coloca un lápiz dentro del lazo y, tensando la cuerda, mueve el lápiz describiendo la curva; la suma de las distancias desde el lápiz a los dos alfileres permanecerá constante y se trazará una elipse.

Elipses en astronomía y otras aplicaciones

• Las órbitas planetarias y de muchos cuerpos del sistema solar son elipses, con el Sol en uno de los focos (primera ley de Kepler).
• La forma de las antenas, espejos y algunos instrumentos ópticos emplea la propiedad reflectante de la elipse para concentrar señales o radiación entre focos.
• En ingeniería y diseño, la elipse aparece en trayectorias, estructuras y en la modelización de secciones transversales.

Ecuación general y elipses rotadas

La ecuación general de una cónica es Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. Para que esta cónica sea una elipse (no degenerada) debe cumplirse B² − 4AC < 0 y además la configuración y traslaciones/rotaciones adecuadas llevarán a la forma canónica. Si B ≠ 0 hay una rotación de ejes que elimina el término xy y permite expresar la cónica como una elipse con ejes principales inclinados respecto a los ejes coordenados.

Notas finales

• Es habitual tomar a ≥ b para fijar notaciones; con otra convención las fórmulas cambian correspondientemente.
• La relación c² = a² − b² es central para ubicar los focos y calcular la excentricidad.
• Para problemas específicos (tangentes, intersecciones, integrales de área parcial, etc.) conviene usar la forma canónica o la parametrización según convenga.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es una elipse?

P: ¿Cómo se crea una elipse?

P: ¿De qué son casos especiales los círculos?

P: ¿Cuántos focos tiene una elipse?

P: ¿Qué ecuación describe una elipse?

P: ¿Dónde vemos ejemplos de órbitas elípticas?

Búsqueda por letra