Serie armónica (matemáticas): definición y por qué diverge

El hecho de que la serie armónica diverge fue demostrado por primera vez en el siglo XIV por Nicole Oresme, pero fue olvidado. Las pruebas fueron dadas en el siglo XVII por Pietro Mengoli, Johann Bernoulli y Jacob Bernoulli.

Las secuencias armónicas han sido utilizadas por los arquitectos. En el periodo barroco los arquitectos las utilizaron en las proporciones de las plantas, los alzados y en las relaciones entre los detalles arquitectónicos de iglesias y palacios.

Hay varias pruebas conocidas de la divergencia de la serie armónica. A continuación se exponen algunas de ellas.

Prueba de comparación

Una forma de demostrar la divergencia es comparar la serie armónica con otra serie divergente, en la que cada denominador se sustituye por la siguiente mayor potencia de dos:

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + ⋯ ≥ 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+{1}{2}+{1}{3}+{1}{4}+{1}{5}+{1}{6}+{1}{8}+{1}{9}+{cdots}{12pt}{geq}.1+{{refrac {1}{2}}+{{color}{rojo}{mathbf {4}} {{frac}{1}{4}+{frac}{color}{rojo}{mathbf}{8} {{frac}} {color {rojo} {mathbf {8}} {{frac}}1}{color rojo}{mathbf}{8}} {{frac}{1}{8}}+{frac}{color}{rojo}{mathbf}{16}} {{cdots}}+{end{aligned}}

Cada término de la serie armónica es mayor o igual que el término correspondiente de la segunda serie, y por tanto la suma de la serie armónica debe ser mayor o igual que la suma de la segunda serie. Sin embargo, la suma de la segunda serie es infinita:

1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ( 1 16 + ⋯ + 1 16 ) + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+\a la izquierda({\frac {1}{2}{dirección})+\a la izquierda({\frac {1}{4}{dirección})+\NIzquierda({\frac {1}{4}}derecha)+\NIzquierda({\frac {1}{8}}+\N-izquierda({{8}}) +\N-cierre de filas({1}{8}}) +\N-izquierda({{16}}) +\N-cierre de filas({1}{16})

Se deduce (por la prueba de comparación) que la suma de la serie armónica debe ser también infinita. Más precisamente, la comparación anterior demuestra que

∑ n = 1 2 k 1 n ≥ 1 + k 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}} {\frac {1}{n}}geq 1+{\frac {k}{2}}

para cada número entero positivo k.

Esta prueba, propuesta por Nicole Oresme hacia 1350, se considera un punto álgido de la matemática medieval. Todavía hoy es una prueba estándar que se enseña en las clases de matemáticas.

Prueba integral

Es posible demostrar que la serie armónica diverge comparando su suma con una integral impropia. Considere la disposición de rectángulos que se muestra en la figura de la derecha. Cada rectángulo tiene 1 unidad de ancho y

1/n unidades de altura, por lo que el área total del número infinito de rectángulos es la suma de la serie armónica:

área de los rectángulos = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{c}{texto}{área de} {{texto}{rectángulos}{end{array}}=1+{frac {1}{2}+{frac {1}{3}+{frac {1}{4}+{frac {1}{5}+\cdots }

El área total bajo la curva y =

1/x de 1 a infinito viene dada por una integral impropia divergente:

área bajo la curva = ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∞ . {\displaystyle {\begin{array}{c}{texto{área bajo}{{texto{curva}{end{array}}=int _{1}^{infty }{frac {1}{x}},dx={infty .}

Dado que esta área está contenida en su totalidad dentro de los rectángulos, el área total de los rectángulos debe ser también infinita. Esto demuestra que

∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 x d x = ln ( k + 1 ) . {\displaystyle \\Nsuma _{n=1}^{k}{frac {1}{n}}>int _{1}^{k+1}{frac {1}{x}},dx=\ln(k+1).}

La generalización de este argumento se conoce como la prueba integral.

La serie armónica diverge muy lentamente. Por ejemplo, la suma de los 10 primeros términos de⁴³ es inferior a 100. Esto se debe a que las sumas parciales de la serie tienen un crecimiento logarítmico. En particular,

∑ n = 1 k 1 n = ln k + γ + ε k ≤ ( ln k ) + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1}

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y ε_k ~

1/2k que se aproxima a 0 a medida que k va al infinito. Leonhard Euler demostró esto y también que la suma que incluye sólo los recíprocos de los primos también diverge, es decir:

∑ p prime 1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + ⋯ = ∞ . {\displaystyle \\\aquella suma _{{prima}} {{frac {1}{p}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{5}}+{frac {1}{7}}+{frac {1}{11}}+{frac {1}{13}}+{frac {1}{17}}+{cdots} ={infty .}
 

Las sumas parciales finitas de las series armónicas divergentes,

H n = ∑ k = 1 n 1 k , {\displaystyle H_{n}={suma _{k=1}^{n}{frac {1}{k},}

se denominan números armónicos.

La diferencia entre H_n y ln n converge a la constante de Euler-Mascheroni. La diferencia entre dos números armónicos cualesquiera nunca es un número entero. Ningún número armónico es un número entero, excepto H₁ = 1.

Series armónicas alternas

La serie

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ {{displaystyle}} suma _{n=1}^{\infty}}{{frac {(-1)^{n+1}{n}=1-{frac {1}{2}+{frac {1}{3}}-{frac {1}{4}+{frac {1}{5}{cdots}}

se conoce como la serie armónica alterna. Esta serie converge por la prueba de la serie alterna. En particular, la suma es igual al logaritmo natural de 2:

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln 2. {\displaystyle 1-{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}-{frac {1}{4}}+{frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}

La serie armónica alterna, aunque es condicionalmente convergente, no es absolutamente convergente: si los términos de la serie se reordenan sistemáticamente, en general la suma se vuelve diferente y, dependiendo del reordenamiento, posiblemente incluso infinita.

La fórmula de la serie armónica alterna es un caso especial de la serie de Mercator, la serie de Taylor para el logaritmo natural.

Se puede derivar una serie relacionada a partir de la serie de Taylor para la arctangente:

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4 . {\displaystyle \\\Nsum _{n=0}^{\infty }{{frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{{frac {1}{3}}+{{frac {1}{5}}-{{1}{7}}+\cdots ={{frac {\pi}{4}}.

Esto se conoce como la serie de Leibniz.

Series armónicas generales

La serie armónica general es de la forma

∑ n = 0 ∞ 1 a n + b , {\displaystyle \\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}

donde a ≠ 0 y b son números reales, y

b/a no es cero ni un entero negativo.

Por la prueba de comparación de límites con las series armónicas, todas las series armónicas generales también divergen.

serie p

Una generalización de la serie armónica es la serie p (o serie hiperarmónica), definida como

∑ n = 1 ∞ 1 n p {{displaystyle \\\Nsum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}

para cualquier número real p. Cuando p = 1, la serie p es la serie armónica, que diverge. La prueba integral o la prueba de condensación de Cauchy muestran que la serie p converge para todo p > 1 (en cuyo caso se llama serie sobrearmónica) y diverge para todo p ≤ 1. Si p > 1 entonces la suma de la serie p es ζ(p), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p.

El problema de encontrar la suma para p = 2 se llama el problema de Basilea; Leonhard Euler demostró que es

π² /6. El valor de la suma para p = 3 se llama constante de Apéry, ya que Roger Apéry demostró que es un número irracional.

serie ln

Relacionada con la serie p está la serie ln, definida como

∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\displaystyle \\Nsum _{n=2}^{{infty}}{frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}

para cualquier número real positivo p. Se puede demostrar mediante la prueba integral que diverge para p ≤ 1 pero converge para todo p > 1.

Serie φ

Para cualquier función convexa y de valor real φ tal que

lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , {\displaystyle \limsup _{u\\\a 0^{+}}{frac {\varphi \left({\frac {u}{2}\right)}{{varphi (u)}}<{{frac {1}{2}}, }

la serie

∑ n = 1 ∞ φ ( 1 n ) {\displaystyle \\Nsum _{n=1}^{infty }\\\Nvarphi \Nleft({\frac {1}{n}\Nright)}

es convergente.

Series armónicas aleatorias

La serie armónica aleatoria

∑ n = 1 ∞ s n n , {\displaystyle \\\Nsum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}},}

donde las s_n son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que toman los valores +1 y -1 con igual probabilidad

1/2, es un ejemplo bien conocido en la teoría de la probabilidad para una serie de variables aleatorias que converge con probabilidad 1. El hecho de esta convergencia es una consecuencia fácil del teorema de las tres series de Kolmogorov o de la desigualdad máxima de Kolmogorov, estrechamente relacionada. Byron Schmuland, de la Universidad de Alberta, examinó además las propiedades de la serie armónica aleatoria y demostró que la serie convergente es una variable aleatoria con algunas propiedades interesantes. En particular, la función de densidad de probabilidad de esta variable aleatoria evaluada en +2 o en -2 toma el valor 0,12499999999999999999999999764..., diferenciándose de 1/8 en menos de 10⁻⁴² . El artículo de Schmuland explica por qué esta probabilidad se acerca tanto, pero no exactamente, a 1/8. El valor exacto de esta probabilidad viene dado por la integral del producto coseno infinito C₂ dividido por π.

Series armónicas agotadas

Se puede demostrar que la serie armónica agotada en la que se eliminan todos los términos en los que aparece el dígito 9 en cualquier parte del denominador converge y su valor es inferior a 80. De hecho, cuando se eliminan todos los términos que contienen cualquier cadena de dígitos (en cualquier base) la serie converge.

La serie armónica puede ser contraintuitiva. Esto se debe a que es una serie divergente aunque los términos de la serie se hagan más pequeños y vayan hacia el cero. La divergencia de la serie armónica es la fuente de algunas paradojas.

• El "gusano de la banda elástica". Supongamos que un gusano se arrastra a lo largo de una banda de goma de un metro de elasticidad infinita al mismo tiempo que la banda de goma se estira uniformemente. Si el gusano recorre 1 centímetro por minuto y la banda se estira 1 metro por minuto, ¿llegará el gusano alguna vez al final de la banda elástica? La respuesta, contraintuitivamente, es "sí", ya que después de n minutos, la relación entre la distancia recorrida por el gusano y la longitud total de la banda elástica es

1 100 ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle {\frac {1}{100}}suma _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}

Dado que la serie se hace arbitrariamente grande a medida que n se hace más grande, eventualmente esta relación debe exceder de 1, lo que implica que el gusano alcanza el final de la banda elástica. Sin embargo, el valor de n en el que esto ocurre debe ser extremadamente grande: aproximadamente e¹⁰⁰ , un número superior a 10⁴³ minutos (10³⁷ años). Aunque la serie armónica sí diverge, lo hace muy lentamente.

• El problema del Jeep pregunta cuánto combustible total se necesita para que un coche con una capacidad limitada de transporte de combustible cruce un desierto dejando gotas de combustible a lo largo de la ruta. La distancia que el coche puede recorrer con una cantidad determinada de combustible está relacionada con las sumas parciales de las series armónicas, que crecen logarítmicamente. Así, el combustible necesario aumenta exponencialmente con la distancia deseada.

• El problema del apilamiento de bloques: dada una colección de fichas de dominó idénticas, es posible apilarlas en el borde de una mesa de manera que cuelguen sobre el borde de la mesa sin caerse. El resultado contraintuitivo es que se pueden apilar de forma que el saliente sea tan grande como se quiera. Es decir, siempre que haya suficientes fichas de dominó.

• Un nadador que va más rápido cada vez que toca la pared de la piscina. El nadador comienza a cruzar una piscina de 10 metros a una velocidad de 2 m/s, y con cada cruce, se añaden otros 2 m/s a la velocidad. En teoría, la velocidad del nadador es ilimitada, pero el número de cruces de la piscina necesarios para llegar a esa velocidad es muy grande; por ejemplo, para llegar a la velocidad de la luz (ignorando la relatividad especial), el nadador necesita cruzar la piscina 150 millones de veces. Contrariamente a este gran número, el tiempo necesario para alcanzar una velocidad determinada depende de la suma de las series en cualquier número de cruces de la piscina:

10 2 ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle {\frac {10}{2}}suma _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}

El cálculo de la suma muestra que el tiempo necesario para llegar a la velocidad de la luz es de sólo 97 segundos.

• Progresión armónica
• Lista de sumas de recíprocos