Función inyectiva: definición matemática, propiedades y ejemplos (1‑a‑1)
Función inyectiva (1‑a‑1): definición clara, propiedades, ejemplos y diferencias con sobreyección y biyección. Conceptos, ejercicios y aplicaciones explicados paso a paso.
En matemáticas, una función inyectiva es una función f : A → B con la siguiente propiedad. Para cada elemento b en el codominio B existe como máximo un elemento a en el dominio A tal que f(a)=b.
El término inyección y los términos afines suryección y biyección fueron introducidos por Nicholas Bourbaki. En la década de 1930, él y un grupo de otros matemáticos publicaron una serie de libros sobre matemáticas modernas avanzadas.
Una función inyectiva suele llamarse función 1-1. Sin embargo, una correspondencia 1-1 es una función biyectiva (tanto inyectiva como sobreyectiva). Esto es confuso, así que ten cuidado.
Definición equivalente
- Forma directa: f es inyectiva si para todo b en B hay como máximo un a en A con f(a) = b.
- Forma práctica (equivalente): f es inyectiva si para cualesquiera a1, a2 en A, f(a1) = f(a2) implica a1 = a2.
- Existencia de una left-inversa: f es inyectiva si y solo si existe una función g : B → A tal que g∘f = idA (es decir, g es inversa por la izquierda de f).
Propiedades importantes
- Si f y g son inyectivas, entonces la composición g∘f también es inyectiva.
- Si g∘f es inyectiva, entonces f debe ser inyectiva (pero g no tiene por qué serlo).
- Una función inyectiva entre conjuntos finitos implica que el tamaño del dominio no excede al tamaño del codominio: |A| ≤ |B|. En conjuntos finitos, una función es inyectiva si y solo si existe una inyección en sentido de cardinalidad.
- Toda función biyectiva es a la vez inyectiva y sobreyectiva; además, las biyectivas son exactamente las que tienen inversa por la derecha y por la izquierda (inversa estricta).
- Para funciones reales (de ℝ en ℝ), una función estrictamente monótona (estrictamente creciente o estrictamente decreciente) es inyectiva. El test de la línea horizontal es una forma visual para funciones reales: si ninguna línea horizontal corta la gráfica en más de un punto, la función es inyectiva.
Cómo probar que una función es inyectiva
- Método directo: tomar x1, x2 en el dominio y suponer f(x1) = f(x2); deducir algebraicamente que x1 = x2.
- Usar una left-inversa: construir una función g tal que g(f(x)) = x para todo x del dominio.
- Usar monotonicidad (para funciones reales): demostrar que la función es estrictamente creciente o decreciente.
- Para transformaciones lineales: comprobar que el núcleo (kernel) es {0}. Si una transformación lineal tiene kernel trivial, es inyectiva.
Ejemplos
- f : ℝ → ℝ dada por f(x) = 2x es inyectiva. Si 2x1 = 2x2 entonces x1 = x2.
- f : ℝ → ℝ dada por f(x) = x^2 no es inyectiva, porque f(1) = f(−1). Sin embargo, su restricción a [0, ∞) es inyectiva.
- g : ℤ → ℤ definida por g(n) = n + 1 es inyectiva (y de hecho biyectiva).
- La función módulo m, h : ℤ → {0,...,m−1} dada por h(n) = n mod m no es inyectiva cuando m > 1, porque varios enteros tienen la misma clase de congruencia.
- Transformación lineal T : ℝ^n → ℝ^m representada por una matriz A es inyectiva si y solo si la ecuación A x = 0 tiene única solución x = 0 (es decir, las columnas de A son linealmente independientes).
Contraejemplos y confusiones comunes
- Confusión del término "1-1": muchos autores usan "1-1" para inyectiva, pero en ocasiones la frase "correspondencia 1-1" se refiere a una biyección. Aclare siempre el significado en el contexto.
- Una función puede ser inyectiva sin ser sobreyectiva: por ejemplo, f : ℕ → ℕ, f(n) = n + 1 es inyectiva pero no cubre el 0 (no es sobreyectiva si se considera codominio ℕ).
Inversas y restricciones
- Si f : A → B es inyectiva, existe una función f^{-1} definida en la imagen f(A) → A tal que f^{-1}∘f = idA. Esta inversa está definida solo sobre la imagen de f, no necesariamente sobre todo el codominio B.
- Restricción a la imagen: vista como f : A → f(A) la función inyectiva se convierte en biyectiva (ya que ahora es sobreyectiva hacia f(A)), y por tanto admite una inversa total entre A y f(A).
Relación con cardinalidad y teoría de conjuntos
- Según la definición de cardinalidad por inyecciones, existe una inyección A → B exactamente cuando el cardinal de A es menor o igual al de B (|A| ≤ |B|). Esto es la base para comparar tamaños de conjuntos incluso en el caso infinito.
- El teorema de Schröder–Bernstein: si hay inyecciones A → B y B → A, entonces existe una biyección entre A y B (es decir, |A| = |B|).
En resumen, las funciones inyectivas son aquellas que no “colapsan” distintos elementos del dominio en el mismo valor del codominio. Reconocerlas y probar inyectividad es una herramienta básica y frecuente en muchas áreas de las matemáticas, desde el álgebra lineal hasta la teoría de conjuntos y el análisis.
Propiedades básicas
Formalmente:
f : A → B {\desde el punto de vista de f:A\rightarrow B} 
es una función inyectiva si ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\Nen A,\Ny a_{1}neq a_{2},\Ny a_{1}flecha derecha,\Ny f(a_{1})\Nneq f(a_{2})} 
o, de forma equivalente
f : A → B {\desde el punto de vista de f:A\arrow B} es una función inyectiva si ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\2},\ en A,\\Nf(a_{1})=f(a_{2})\Ny,\Nflecha derecha ,\Na_{1}=a_{2}}. 
El elemento a {\displaystyle a} 
se llama preimagen del elemento b {\displaystyle b} si
f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} .
Las inyecciones tienen una o ninguna preimagen para cada elemento b de B.
Cardinalidad
La cardinalidad es el número de elementos de un conjunto. La cardinalidad de A={X,Y,Z,W} es 4. Escribimos #A=4.
- Si la cardinalidad del codominio es menor que la cardinalidad del dominio, la función no puede ser una inyección. (Por ejemplo, no hay manera de mapear 6 elementos a 5 elementos sin un duplicado).
Ejemplos
Funciones elementales
Sea f(x):ℝ→ℝ una función de valor real y=f(x) de un argumento de valor real x. (Esto significa que tanto la entrada como la salida son números reales).
- Significado gráfico: La función f es una inyección si toda recta horizontal interseca a la gráfica de f a lo sumo en un punto.
- Significado algebraico: La función f es una inyección si f(x o)=f(x 1) significa que x o=x 1.
Ejemplo: La función lineal de una recta inclinada es 1-1. Es decir, y=ax+b donde a≠0 es una inyección. (También es una suryección y, por tanto, una biyección).
Prueba: Sean x oy x1 números reales. Supongamos que la recta asigna estos dos valores de x al mismo valor de y. Esto significa que a-x o+b=a-x 1+b. Resta b a ambos lados. Obtenemos a-xo =a-x 1. Ahora divide ambos lados por a (recuerda a≠0). Obtenemos xo =x1 . Así que hemos demostrado la definición formal y la función y=ax+b donde a≠0 es una inyección.
Ejemplo: La función polinómica de tercer grado: f(x)=x3 es una inyección. Sin embargo, la función polinómica de tercer grado: f(x)=x 3-3x no es una inyección.
Discusión 1: Cualquier línea horizontal interseca la gráfica de
f(x)=x 3exactamente una vez. (Además, es una suryección).
Discusión 2. Cualquier recta horizontal entre y=-2 e y=2 interseca la gráfica en tres puntos por lo que esta función no es una inyección. (Sin embargo, es una suryección).
Ejemplo: La función cuadrática f(x) = x 2no es una inyección.
Discusión: Cualquier línea horizontal y=c donde c>0 interseca la gráfica en dos puntos. Por tanto, esta función no es una inyección. (Tampoco es una suryección).
Nota: Se puede convertir una función no inyectiva en una función inyectiva eliminando parte del dominio. A esto le llamamos restringir el dominio. Por ejemplo, restringir el dominio de f(x)=x² a números no negativos (números positivos y cero). Definir
f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } donde 
f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} 
Esta función es ahora una inyección. (Véase también la restricción de una función).
Ejemplo: La función exponencial f(x) = 10x es una inyección. (Sin embargo, no es una suryección).
Discusión: Cualquier recta horizontal corta a la gráfica a lo sumo en un punto. Las rectas horizontales y=c donde c>0 la cortan exactamente en un punto. Las rectas horizontales y=c donde c≤0 no cortan la gráfica en ningún punto.
Nota: El hecho de que una función exponencial sea inyectiva puede utilizarse en los cálculos.
a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}},\\️ Flecha derecha \️,x_{0}=x_{1},\️,a>0} 
Ejemplo: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3},\\Rightarrow \\N- 2=x-3,\N- Rightarrow \N- x=5}. 
| Inyección: ninguna línea horizontal cruza más de un punto del gráfico | ||
|
Inyección. f(x):ℝ→ℝ (y suryección) |
Inyección. f(x):ℝ→ℝ (y suryección) |
No es una inyección. f(x):ℝ→ℝ (es suryección) |
|
No es una inyección. f(x):ℝ→ℝ (no es una suryección) |
Inyección. f(x):ℝ→ℝ (no suryección) |
Inyección. f(x):(0,+∞)→ℝ (y suryección) |
Otros ejemplos
Ejemplo: La función logarítmica de base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definida por f(x)=log(x) o y=log10 (x) es una inyección (y una suryección). (Es la función inversa de 10x).
Ejemplo: La función f:ℕ→ℕ que mapea todo número natural n a 2n es una inyección. Todo número par tiene exactamente una preimagen. Todo número impar no tiene ninguna preimagen.
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Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es una función inyectiva en matemáticas?
R: Una función inyectiva es una función f: A → B con la propiedad de que elementos distintos en el dominio mapean a elementos distintos en el codominio.
P: ¿Cuál es la relación entre los elementos del dominio y del codominio de una función inyectiva?
R: Para cada elemento b en el codominio B, existe como máximo un elemento a en el dominio A tal que f(a)=b.
P: ¿Quién introdujo los términos inyección, suryección y biyección?
R: Nicholas Bourbaki y un grupo de matemáticos introdujeron los términos inyección, sobreyección y biyección.
P: ¿Qué significa una función inyectiva?
R: Una función inyectiva significa que cada elemento del dominio A corresponde a un único elemento del codominio B.
P: ¿En qué se diferencia una función inyectiva de una correspondencia 1-1?
R: Una función inyectiva suele denominarse función 1-1 (uno a uno), pero se distingue de una correspondencia 1-1, que es una función biyectiva (tanto inyectiva como suryectiva).
P: ¿Cuál es la propiedad de una función inyectiva?
R: La propiedad de una función inyectiva es que elementos distintos del dominio se corresponden con elementos distintos del codominio.
P: ¿Qué importancia tienen las funciones inyectivas en matemáticas?
R: Las funciones inyectivas juegan un papel importante en muchos campos matemáticos, incluyendo la topología, el análisis y el álgebra, debido a su propiedad de tener elementos distintos en el dominio que se corresponden con elementos distintos en el codominio.
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