Función inyectiva

En matemáticas, una función inyectiva es una función f : A → B con la siguiente propiedad. Para cada elemento b en el codominio B existe como máximo un elemento a en el dominio A tal que f(a)=b.

El término inyección y los términos afines suryección y biyección fueron introducidos por Nicholas Bourbaki. En la década de 1930, él y un grupo de otros matemáticos publicaron una serie de libros sobre matemáticas modernas avanzadas.

Una función inyectiva suele llamarse función 1-1. Sin embargo, una correspondencia 1-1 es una función biyectiva (tanto inyectiva como sobreyectiva). Esto es confuso, así que ten cuidado.

Propiedades básicas

Formalmente:

f : A → B {\desde el punto de vista de f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ es una función inyectiva si ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\Nen A,\Ny a_{1}neq a_{2},\Ny a_{1}flecha derecha,\Ny f(a_{1})\Nneq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ o, de forma equivalente

f : A → B {\desde el punto de vista de f:A\arrow B} $f:A\rightarrow B$ es una función inyectiva si ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\2},\ en A,\\Nf(a_{1})=f(a_{2})\Ny,\Nflecha derecha ,\Na_{1}=a_{2}}. $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

El elemento a {\displaystyle a} se llama preimagen del elemento b {\displaystyle b} si $b$ f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} . $f(a)=b$ Las inyecciones tienen una o ninguna preimagen para cada elemento b de B.

Cardinalidad

La cardinalidad es el número de elementos de un conjunto. La cardinalidad de A={X,Y,Z,W} es 4. Escribimos #A=4.

Si la cardinalidad del codominio es menor que la cardinalidad del dominio, la función no puede ser una inyección. (Por ejemplo, no hay manera de mapear 6 elementos a 5 elementos sin un duplicado).

Ejemplos

Funciones elementales

Sea f(x):ℝ→ℝ una función de valor real y=f(x) de un argumento de valor real x. (Esto significa que tanto la entrada como la salida son números reales).

Significado gráfico: La función f es una inyección si toda recta horizontal interseca a la gráfica de f a lo sumo en un punto.
Significado algebraico: La función f es una inyección si f(x _o)=f(x ₁) significa que x _o=x ₁.

Ejemplo: La función lineal de una recta inclinada es 1-1. Es decir, y=ax+b donde a≠0 es una inyección. (También es una suryección y, por tanto, una biyección).

Prueba: Sean x _oy x₁ números reales. Supongamos que la recta asigna estos dos valores de x al mismo valor de y. Esto significa que a-x _o+b=a-x ₁+b. Resta b a ambos lados. Obtenemos a-x_o =a-x ₁. Ahora divide ambos lados por a (recuerda a≠0). Obtenemos x_o =x₁ . Así que hemos demostrado la definición formal y la función y=ax+b donde a≠0 es una inyección.

Ejemplo: La función polinómica de tercer grado: f(x)=x³ es una inyección. Sin embargo, la función polinómica de tercer grado: f(x)=x ³-3x no es una inyección.

Discusión 1: Cualquier línea horizontal interseca la gráfica de

f(x)=x ³exactamente una vez. (Además, es una suryección).

Discusión 2. Cualquier recta horizontal entre y=-2 e y=2 interseca la gráfica en tres puntos por lo que esta función no es una inyección. (Sin embargo, es una suryección).

Ejemplo: La función cuadrática f(x) = x ²no es una inyección.

Discusión: Cualquier línea horizontal y=c donde c>0 interseca la gráfica en dos puntos. Por tanto, esta función no es una inyección. (Tampoco es una suryección).

Nota: Se puede convertir una función no inyectiva en una función inyectiva eliminando parte del dominio. A esto le llamamos restringir el dominio. Por ejemplo, restringir el dominio de f(x)=x² a números no negativos (números positivos y cero). Definir

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } donde $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

Esta función es ahora una inyección. (Véase también la restricción de una función).

Ejemplo: La función exponencial f(x) = 10^x es una inyección. (Sin embargo, no es una suryección).

Discusión: Cualquier recta horizontal corta a la gráfica a lo sumo en un punto. Las rectas horizontales y=c donde c>0 la cortan exactamente en un punto. Las rectas horizontales y=c donde c≤0 no cortan la gráfica en ningún punto.

Nota: El hecho de que una función exponencial sea inyectiva puede utilizarse en los cálculos.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}},\\️ Flecha derecha \️,x_{0}=x_{1},\️,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Ejemplo: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3},\\Rightarrow \\N- 2=x-3,\N- Rightarrow \N- x=5}. $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Inyección: ninguna línea horizontal cruza más de un punto del gráfico

Inyección. f(x):ℝ→ℝ (y suryección)

No es una inyección. f(x):ℝ→ℝ (es suryección)

No es una inyección. f(x):ℝ→ℝ (no es una suryección)

Inyección. f(x):ℝ→ℝ (no suryección)

Inyección. f(x):(0,+∞)→ℝ (y suryección)

Otros ejemplos

Ejemplo: La función logarítmica de base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definida por f(x)=log(x) o y=log₁₀ (x) es una inyección (y una suryección). (Es la función inversa de 10^x).

Ejemplo: La función f:ℕ→ℕ que mapea todo número natural n a 2n es una inyección. Todo número par tiene exactamente una preimagen. Todo número impar no tiene ninguna preimagen.

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Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es una función inyectiva en matemáticas?

R: Una función inyectiva es una función f: A → B con la propiedad de que elementos distintos en el dominio mapean a elementos distintos en el codominio.

P: ¿Cuál es la relación entre los elementos del dominio y del codominio de una función inyectiva?

R: Para cada elemento b en el codominio B, existe como máximo un elemento a en el dominio A tal que f(a)=b.

P: ¿Quién introdujo los términos inyección, suryección y biyección?

R: Nicholas Bourbaki y un grupo de matemáticos introdujeron los términos inyección, sobreyección y biyección.

P: ¿Qué significa una función inyectiva?

R: Una función inyectiva significa que cada elemento del dominio A corresponde a un único elemento del codominio B.

P: ¿En qué se diferencia una función inyectiva de una correspondencia 1-1?

R: Una función inyectiva suele denominarse función 1-1 (uno a uno), pero se distingue de una correspondencia 1-1, que es una función biyectiva (tanto inyectiva como suryectiva).

P: ¿Cuál es la propiedad de una función inyectiva?

R: La propiedad de una función inyectiva es que elementos distintos del dominio se corresponden con elementos distintos del codominio.

P: ¿Qué importancia tienen las funciones inyectivas en matemáticas?

R: Las funciones inyectivas juegan un papel importante en muchos campos matemáticos, incluyendo la topología, el análisis y el álgebra, debido a su propiedad de tener elementos distintos en el dominio que se corresponden con elementos distintos en el codominio.