En matemáticas, una función sobreyectiva (también escrita a veces como suryectiva o llamada onto) es una función f : A → B que cumple la siguiente propiedad: para todo elemento b en el codominio B existe al menos un elemento a en el dominio A tal que f(a) = b. Equivalentemente, el rango (imagen) de f coincide con su codominio B.

El término suryección y los términos relacionados de inyección y biyección fueron introducidos por el grupo de matemáticos que se autodenominó Nicolás Bourbaki. En la década de 1930, este grupo publicó una serie de textos sobre matemáticas modernas. El prefijo francés sur significa «encima» o «sobre» y se eligió porque una función sobreyectiva «mapea su dominio sobre su codominio» (es decir, cubre todo el codominio).

Propiedades principales

  • Rango = codominio: f es sobreyectiva si y sólo si Im(f) = B.
  • Preimagen no vacía: para cada b ∈ B, el conjunto f−1({b}) es no vacío.
  • Composición: si f: A → B y g: B → C son sobreyectivas, entonces g ∘ f es sobreyectiva. Además, si g ∘ f es sobreyectiva entonces g debe ser sobreyectiva (pero f no necesariamente).
  • Existencia de derecha-inversa: f es sobreyectiva si y sólo si existe una función g: B → A tal que f ∘ g = idB. Dicha g se llama una sección o derecha-inversa de f.
  • Cardinalidad (conjuntos finitos): si f: A → B es sobreyectiva y A y B son finitos, entonces |A| ≥ |B|. Para conjuntos infinitos las comparaciones de cardinalidad requieren otras herramientas (p. ej. funciones biyectivas o inyecciones).
  • Mapas lineales: una transformación lineal entre espacios vectoriales finito-dimensionales es sobreyectiva si y sólo si su rango (la dimensión de la imagen) coincide con la dimensión del codominio (equivalente a que la matriz asociada tenga rango máximo igual al número de filas).

Cómo demostrar que una función es sobreyectiva

  • Argumento directo: Tomar un elemento arbitrario b ∈ B y construir (o describir) explícitamente un a ∈ A con f(a) = b. Este es el método más habitual.
  • Uso de estructuras: aprovechar propiedades de la función (continuidad y límites, polinomios de grado impar, fórmulas explícitas, propiedades algebraicas) para asegurar que todo valor del codominio se alcanza.
  • Derecha-inversa: mostrar la existencia de una función g: B → A con f ∘ g = idB prueba la sobreyectividad de f.

Cómo demostrar que una función no es sobreyectiva

  • Encontrar un elemento concreto b ∈ B tal que no existe a ∈ A con f(a) = b. Basta con exhibir un valor del codominio que no sea alcanzado.
  • Comparar cardinalidades en el caso finito: si |A| < |B| no puede existir ninguna función sobreyectiva A → B.

Ejemplos

  • Función polinómica impar: f(x) = x3 es sobreyectiva como función f: ℝ → ℝ porque para cualquier y real, x = ∛y satisface x3 = y.
  • Cuadrado: g(x) = x2 no es sobreyectiva como función ℝ → ℝ porque ningún x real produce valores negativos; su imagen es [0, ∞). Sin embargo, g: ℝ → [0, ∞) sí es sobreyectiva.
  • Exponencial: ex no es sobreyectiva como ℝ → ℝ (su imagen es (0, ∞)), pero sí es sobreyectiva como función ℝ → (0, ∞).
  • Proyección: la proyección π1: ℝ2 → ℝ dada por π1(x,y) = x es sobreyectiva (cada real aparece como primera coordenada).
  • Ejemplo con conjuntos finitos: A = {1,2,3}, B = {a,b}. La función definida por f(1)=a, f(2)=b, f(3)=a es sobreyectiva porque ambos elementos de B tienen preimagen.
  • Aplicación lineal: La transformación lineal T: ℝ2 → ℝ2 dada por la matriz [[1,0],[0,1]] (la identidad) es sobreyectiva; en general, una matriz cuadrada de orden n es sobreyectiva si y sólo si su determinante es distinto de cero (equivalente a que es invertible).

Relación con inyectividad y biyectividad

  • Inyectiva: una función es inyectiva si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
  • Biyectiva: una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva; en ese caso tiene una inversa global f−1: B → A.
  • Consecuencias: toda biyectiva admite tanto izquierda-inversa como derecha-inversa (ambas coinciden y son la inversa única).

En resumen, la sobreyectividad describe funciones que alcanzan todo su codominio. Es una propiedad fundamental en álgebra, análisis y teoría de conjuntos, y se verifica mediante construcción de preimágenes, análisis de estructuras algebraicas/topológicas o criterios de rango en el contexto lineal.