Función sobreyectiva: qué es, propiedades y ejemplos
Descubre qué es una función sobreyectiva, sus propiedades y ejemplos claros para entender cuándo rango y codominio coinciden. Explicaciones y ejercicios.
En matemáticas, una función sobreyectiva (también escrita a veces como suryectiva o llamada onto) es una función f : A → B que cumple la siguiente propiedad: para todo elemento b en el codominio B existe al menos un elemento a en el dominio A tal que f(a) = b. Equivalentemente, el rango (imagen) de f coincide con su codominio B.
El término suryección y los términos relacionados de inyección y biyección fueron introducidos por el grupo de matemáticos que se autodenominó Nicolás Bourbaki. En la década de 1930, este grupo publicó una serie de textos sobre matemáticas modernas. El prefijo francés sur significa «encima» o «sobre» y se eligió porque una función sobreyectiva «mapea su dominio sobre su codominio» (es decir, cubre todo el codominio).
Propiedades principales
- Rango = codominio: f es sobreyectiva si y sólo si Im(f) = B.
- Preimagen no vacía: para cada b ∈ B, el conjunto f−1({b}) es no vacío.
- Composición: si f: A → B y g: B → C son sobreyectivas, entonces g ∘ f es sobreyectiva. Además, si g ∘ f es sobreyectiva entonces g debe ser sobreyectiva (pero f no necesariamente).
- Existencia de derecha-inversa: f es sobreyectiva si y sólo si existe una función g: B → A tal que f ∘ g = idB. Dicha g se llama una sección o derecha-inversa de f.
- Cardinalidad (conjuntos finitos): si f: A → B es sobreyectiva y A y B son finitos, entonces |A| ≥ |B|. Para conjuntos infinitos las comparaciones de cardinalidad requieren otras herramientas (p. ej. funciones biyectivas o inyecciones).
- Mapas lineales: una transformación lineal entre espacios vectoriales finito-dimensionales es sobreyectiva si y sólo si su rango (la dimensión de la imagen) coincide con la dimensión del codominio (equivalente a que la matriz asociada tenga rango máximo igual al número de filas).
Cómo demostrar que una función es sobreyectiva
- Argumento directo: Tomar un elemento arbitrario b ∈ B y construir (o describir) explícitamente un a ∈ A con f(a) = b. Este es el método más habitual.
- Uso de estructuras: aprovechar propiedades de la función (continuidad y límites, polinomios de grado impar, fórmulas explícitas, propiedades algebraicas) para asegurar que todo valor del codominio se alcanza.
- Derecha-inversa: mostrar la existencia de una función g: B → A con f ∘ g = idB prueba la sobreyectividad de f.
Cómo demostrar que una función no es sobreyectiva
- Encontrar un elemento concreto b ∈ B tal que no existe a ∈ A con f(a) = b. Basta con exhibir un valor del codominio que no sea alcanzado.
- Comparar cardinalidades en el caso finito: si |A| < |B| no puede existir ninguna función sobreyectiva A → B.
Ejemplos
- Función polinómica impar: f(x) = x3 es sobreyectiva como función f: ℝ → ℝ porque para cualquier y real, x = ∛y satisface x3 = y.
- Cuadrado: g(x) = x2 no es sobreyectiva como función ℝ → ℝ porque ningún x real produce valores negativos; su imagen es [0, ∞). Sin embargo, g: ℝ → [0, ∞) sí es sobreyectiva.
- Exponencial: ex no es sobreyectiva como ℝ → ℝ (su imagen es (0, ∞)), pero sí es sobreyectiva como función ℝ → (0, ∞).
- Proyección: la proyección π1: ℝ2 → ℝ dada por π1(x,y) = x es sobreyectiva (cada real aparece como primera coordenada).
- Ejemplo con conjuntos finitos: A = {1,2,3}, B = {a,b}. La función definida por f(1)=a, f(2)=b, f(3)=a es sobreyectiva porque ambos elementos de B tienen preimagen.
- Aplicación lineal: La transformación lineal T: ℝ2 → ℝ2 dada por la matriz [[1,0],[0,1]] (la identidad) es sobreyectiva; en general, una matriz cuadrada de orden n es sobreyectiva si y sólo si su determinante es distinto de cero (equivalente a que es invertible).
Relación con inyectividad y biyectividad
- Inyectiva: una función es inyectiva si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
- Biyectiva: una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva; en ese caso tiene una inversa global f−1: B → A.
- Consecuencias: toda biyectiva admite tanto izquierda-inversa como derecha-inversa (ambas coinciden y son la inversa única).
En resumen, la sobreyectividad describe funciones que alcanzan todo su codominio. Es una propiedad fundamental en álgebra, análisis y teoría de conjuntos, y se verifica mediante construcción de preimágenes, análisis de estructuras algebraicas/topológicas o criterios de rango en el contexto lineal.
Propiedades básicas
Formalmente:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} 
es una función suryectiva si ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\exists a\in A} 
tal que f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\\N-,. } 
El elemento b {estilo de visualización b}
se llama imagen del elemento a {estilo de visualización a}
.
- La definición formal significa: Todo elemento del codominio B es imagen de al menos un elemento del dominio A.
El elemento a {estilo de visualización a} se llama preimagen del elemento b {estilo de visualización b} .
- La definición formal significa: Todo elemento del codominio B tiene al menos una preimagen en el dominio A.
Una preimagen no tiene por qué ser única. En la imagen superior, tanto {X} como {Y} son preimágenes del elemento {1}. Sólo es importante que haya al menos una preimagen. (Ver también: Función inyectiva, Función biyectiva)
Ejemplos
Funciones elementales
Sea f(x):ℝ→ℝ una función de valor real y=f(x) de un argumento de valor real x. (Esto significa que tanto la entrada como la salida son números).
- Significado gráfico: La función f es una suryección si toda recta horizontal interseca la gráfica de f en al menos un punto.
- Significado analítico: La función f es una suryección si para todo número real yo podemos encontrar al menos un número real x otal que y o=f(x o).
Encontrar una preimagen xo para una yo dada es equivalente a cualquiera de las dos preguntas:
- ¿Tiene solución la ecuación f(x)-yo =0? o
- ¿Tiene la función f(x)-yo una raíz?
En matemáticas, sólo podemos encontrar las raíces exactas (analíticas) de los polinomios de primer, segundo (y tercer) grado. Las raíces de todas las demás funciones las encontramos de forma aproximada (numérica). Esto significa que una prueba formal de la subjetividad rara vez es directa. Así que las discusiones que siguen son informales.
Ejemplo: La función lineal de una recta inclinada es onto. Es decir, y=ax+b donde a≠0 es una suryección. (También es una inyección y, por tanto, una biyección).
Demostración: Sustituye yo en la función y resuelve para x. Como a≠0 obtenemos x= (y o-b)/ a. Esto significa que xo =(yo -b)/ aes una preimagen de y o. Esto demuestra que la función y=ax+b donde a≠0 es una suryección. (Como hay exactamente una preimagen, esta función es también una inyección).
Ejemplo práctico: y= -2x+4. ¿Cuál es la preimagen de y=2? Solución: Aquí a= -2, es decir, a≠0 y la pregunta es: ¿Para qué x es y=2? Sustituimos y=2 en la función. Obtenemos x=1, es decir, y(1)=2. Así que la respuesta es: x=1 es la preimagen de y=2.
Ejemplo: El polinomio cúbico (de tercer grado) f(x)=x 3-3x es una suryección.
Discusión: La ecuación cúbica x 3-3x-y o=0 tiene coeficientes reales (a 3=1, a 2=0, a 1=-3, a 0=-yo ). Toda ecuación cúbica de este tipo tiene al menos una raíz real. Como el dominio del polinomio es ℝ, significa que hay al menos una preimagen x oen el dominio. Es decir, (x 0) 3-3x 0-y o=0. Así que la función es una suryección. (Sin embargo, esta función no es una inyección. Por ejemplo, y o=2 tiene 2 preimágenes: x=-1 y x=2. De hecho, cada y, -2≤y≤2 tiene al menos 2 preimágenes).
Ejemplo: La función cuadrática f(x) = x2 no es una suryección. No hay ninguna x tal que x2 = -1. El rango de x² es [0,+∞) , es decir, el conjunto de números no negativos. (Además, esta función no es una inyección).
Nota: Se puede convertir una función no conjuntiva en una conjunción restringiendo su codominio a los elementos de su rango. Por ejemplo, la nueva función, f N(x):ℝ → [0,+∞) donde f N(x) = x 2es una función suryectiva. (¡No es lo mismo que la restricción de una función que restringe el dominio!)
Ejemplo: La función exponencial f(x) = 10x no es una suryección. El rango de 10 xes (0,+∞), es decir, el conjunto de números positivos. (Esta función es una inyección).
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Sobreinyección. f(x):ℝ→ℝ (e inyección) |
Sobreinyección. f(x):ℝ→ℝ (no es una inyección) |
No es una suryección. f(x):ℝ→ℝ (ni una inyección) |
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No es una suryección. f(x):ℝ→ℝ (pero es una inyección) |
Suryección. f(x):(0,+∞)→ℝ (e inyección) |
Proyección. z:ℝ²→ℝ, z=y. (La imagen muestra que la preimagen de z=2 es la recta y=2). |
Otros ejemplos con funciones de valor real
Ejemplo: La función logarítmica de base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definida por f(x)=log(x) o y=log10 (x) es una suryección (y una inyección). (Es la función inversa de 10x).
- La proyección de un producto cartesiano A × B sobre uno de sus factores es una suryección.
Ejemplo: La función f((x,y)):ℝ²→ℝ definida por z=y es una suryección. Su gráfica es un plano en un espacio tridimensional. La preimagen de z oes la recta y=z oen el plano x0y.
- En los juegos en 3D, el espacio tridimensional se proyecta en una pantalla bidimensional con una proyección.
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