Función biyectiva (biyección): definición, ejemplos y propiedades

Formalmente:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} es una función biyectiva si ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} hay un único a ∈ A {\displaystyle a\in A} tal que f ( a ) = b . {\nbsp;estilo de visualización f(a)=b,. }

El elemento b {estilo de visualización b} se llama imagen del elemento a {estilo de visualización a}.

• La definición formal significa: Cada elemento del codominio B es la imagen de exactamente un elemento del dominio A.

El elemento a {estilo de visualización a} se llama preimagen del elemento b {estilo de visualización b} .

• La definición formal significa: Cada elemento del codominio B tiene exactamente una preimagen en el dominio A.

Nota: La sobreinyección significa un mínimo de una preimagen. Inyección significa un máximo de una preimagen. Por lo tanto, la biyección significa exactamente una preimagen.

La cardinalidad es el número de elementos de un conjunto. La cardinalidad de A={X,Y,Z,W} es 4. Escribimos #A=4.

• Definición: Dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre los conjuntos. Así que #A=#B significa que hay una biyección de A a B.

• Las biyecciones son invertibles invirtiendo las flechas. La nueva función se llama función inversa.

Formalmente: Sea f : A → B una biyección. La función inversa g : B → A se define como si f(a)=b, entonces g(b)=a. (Véase también Función inversa).

• La función inversa de la función inversa es la función original.
• Una función tiene una función inversa si y sólo si es una biyección.

Nota: La notación de la función inversa de f es confusa. A saber,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} denota la función inversa de la función f, pero x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}} denota el valor recíproco del número x.

Funciones elementales

Sea f(x):ℝ→ℝ una función de valor real y=f(x) de un argumento de valor real x. (Esto significa que tanto la entrada como la salida son números).

• Significado gráfico: La función f es una biyección si toda recta horizontal interseca la gráfica de f en exactamente un punto.
• Significado algebraico: La función f es una biyección si para todo número real y _opodemos encontrar al menos un número real x _otal que y _o=f(x _o) y si f(x _o)=f(x ₁) significa x _o=x ₁.

Ejemplo: La función lineal de una recta inclinada es una biyección. Es decir, y=ax+b donde a≠0 es una biyección.

Discusión: Toda línea horizontal interseca a una línea inclinada en exactamente un punto (ver suryección e inyección para las pruebas). Imagen 1.

Ejemplo: La función polinómica de tercer grado: f(x)=x³ es una biyección. Imagen 2 e imagen 5 curva fina amarilla. Su inversa es la función raíz cúbica f(x)= ∛x y también es una biyección f(x):ℝ→ℝ. Imagen 5: curva verde gruesa.

Ejemplo: La función cuadrática f(x) = x² no es una biyección (de ℝ→ℝ). Imagen 3. No es una suryección. No es una inyección. Sin embargo, podemos restringir tanto su dominio como su codominio al conjunto de números no negativos (0,+∞) para obtener una biyección (invertible) (ver ejemplos más abajo).

• el dominio
• la máquina de funciones
• el codominio

Ejemplo: Supongamos que nuestra máquina de funciones es f(x)=x².

• Esta máquina y dominio=ℝ y codominio=ℝ no es una suryección y no es una inyección. Sin embargo,
• esta misma máquina y dominio=[0,+∞) y codominio=[0,+∞) es tanto una suryección como una inyección y, por tanto, una biyección.

Biyecciones y sus inversas

Sea f(x):A→B donde A y B son subconjuntos de ℝ.

• Supongamos que f no es una biyección. Para cualquier x donde la derivada de f existe y no es cero, hay una vecindad de x donde podemos restringir el dominio y el codominio de f para que sea una bisección.
• Las gráficas de las funciones inversas son simétricas respecto a la recta y=x. (Véase también Función inversa).

Ejemplo: La función cuadrática definida en el dominio restringido y el codominio [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\\a,[0,+\infty )} definida por f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

es una biyección. Imagen 6: curva fina amarilla.

Ejemplo: La función raíz cuadrada definida en el dominio restringido y el codominio [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\\a,[0,+\infty )} definida por f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={sqrt {x}}

es la biyección definida como la función inversa de la función cuadrática: x ². Imagen 6: curva verde gruesa.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\rightarrow \\,(0,+\infty )} definida por f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,a>1}

es una biyección. Imagen 4: curva fina amarilla (a=10).

Ejemplo: La función logarítmica base a definida en el dominio restringido (0,+∞) y el codominio ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\\\N-flecha recta \Nmathbf {R} } definida por f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\\Nlog _{a}x,,\\Na>1}.

es la biyección definida como la función inversa de la función exponencial: a ^x. Imagen 4: curva verde gruesa (a=10).

• Función (matemáticas)
• Función proyectiva
• Función inyectiva
• Función inversa