Identidad (matemática)

Para otros sentidos de esta palabra, véase identidad.

En matemáticas, el término identidad tiene varios usos importantes:

  • Una identidad es una igualdad que sigue siendo verdadera aunque se cambien todas las variables que se utilizan en esa igualdad.

Una igualdad en sentido matemático sólo es verdadera bajo condiciones más particulares. Para ello, a veces se utiliza el símbolo ≡. (Sin embargo, esto puede dar lugar a malentendidos, ya que el mismo símbolo puede utilizarse también para una relación de congruencia).

Ejemplos

Relación de identidad

Un ejemplo común del primer significado es la identidad trigonométrica

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^2}\theta +\cos ^2}\theta =1\,} {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}

lo que es cierto para todos los valores reales de θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta }(ya que los números reales R {\displaystyle {\mathbb {R}} {\displaystyle {\mathbb {R}}}son el dominio de sin y cos), a diferencia de

cos θ = 1 , {\desde el punto de vista de cos \theta =1,\} {\displaystyle \cos \theta =1,\,}

lo que es cierto sólo para los valores de θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta }en un subconjunto del dominio.

Elemento de identidad

Los conceptos de "identidad aditiva" e "identidad multiplicativa" son fundamentales para los axiomas de Peano. El número 0 es la "identidad aditiva" para los números enteros, reales y complejos. Para los números reales, para todo a R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R},} {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}

0 + a = a , {\diseño de 0+a=a,\declaración,} {\displaystyle 0+a=a,\,}

a + 0 = a , {\declaración a+0=a,\declaración,} {\displaystyle a+0=a,\,}y

0 + 0 = 0. {\displaystyle 0+0=0.\,}

Del mismo modo, el número 1 es la "identidad multiplicativa" para los números enteros, reales y complejos. Para los números reales, para todo a R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R},} {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}

1 × a = a , {\desde el punto de vista de los tiempos a=a,\} {\displaystyle 1\times a=a,\,}

a × 1 = a , {\a veces 1=a,\a,} {\displaystyle a\times 1=a,\,}y

1 × 1 = 1. {\a6}*Estilo de visualización 1\a6=1,} {\displaystyle 1\times 1=1.\,}

Función de identidad

Un ejemplo común de una función de identidad es la permutación de identidad, que envía cada elemento del conjunto { 1 , 2 , ... , n } {{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}a sí mismo.

Comparación

Estos significados no son mutuamente excluyentes; por ejemplo, la permutación de identidad es el elemento de identidad en el conjunto de permutaciones de { 1 , 2 , ... , n } {1,2, puntos, n, {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}bajo la composición.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es una identidad en matemáticas?


R: Una identidad en matemáticas es una igualdad que sigue siendo cierta incluso si se cambian todas las variables que se utilizan en esa igualdad.

P: ¿Cuándo es verdadera una igualdad en sentido matemático?


R: Una igualdad en sentido matemático sólo es cierta en determinadas condiciones.

P: ¿Cuál es el símbolo de una identidad?


R: El símbolo utilizado para una identidad no está especificado, pero es probable que se utilice el signo igual (=).

P: ¿Cuál es el símbolo de una relación de congruencia?


R: El símbolo de una relación de congruencia es el mismo que el de una identidad, es decir, ≡.

P: ¿Cuántos usos importantes tiene el término identidad en matemáticas?


R: El término identidad tiene varios usos importantes en matemáticas.

P: ¿Cuál es la diferencia entre una identidad y una igualdad en sentido matemático?


R: Una identidad sigue siendo cierta aunque se cambien todas las variables que se usan en esa igualdad, mientras que una igualdad en sentido matemático sólo es cierta en condiciones más particulares.

P: ¿Se utiliza el mismo símbolo para una identidad y una relación de congruencia?


R: Sí, se puede utilizar el mismo símbolo (≡) para una identidad y una relación de congruencia.

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