Identidad matemática: igualdades verdaderas para todas las variables

Descubre la identidad matemática: igualdades que permanecen verdaderas para todas las variables, con ejemplos, propiedades y aplicaciones clave.

Autor: Leandro Alegsa

24-02-2026 19:48

Para otros sentidos de esta palabra, véase identidad.

En matemáticas, el término identidad tiene varios usos importantes:

Una identidad es una igualdad que sigue siendo verdadera aunque se cambien todas las variables que se utilizan en esa igualdad.

Una igualdad en sentido matemático sólo es verdadera bajo condiciones más particulares. Para ello, a veces se utiliza el símbolo ≡. (Sin embargo, esto puede dar lugar a malentendidos, ya que el mismo símbolo puede utilizarse también para una relación de congruencia).

Usos y ejemplos

Identidades algebraicas: igualdades que valen para todos los valores de las variables. Ejemplos clásicos:
- (a+b)² = a² + 2ab + b²
- a² − b² = (a−b)(a+b)
Identidades trigonométricas: relaciones entre funciones trigonométricas válidas para todo ángulo (o para todo ángulo en el dominio considerado). Ejemplos:
- sen²x + cos²x = 1
- sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b
Identidades de polinomios y funciones: dos polinomios son idénticos si sus coeficientes son iguales término a término; equivalemente, si su diferencia es el polinomio nulo, valen para todo x. En análisis y álgebra se habla también de identidades funcionales cuando dos expresiones definen la misma función en su dominio.
Otros usos en matemáticas: además del significado de igualdad universal, la palabra «identidad» aparece en otros contextos (por ejemplo, elemento identidad en una estructura algebraica o la función identidad id(x)=x). Para esos sentidos y casos específicos, consulte el enlace indicado arriba.

Identidad vs. ecuación condicional

Una identidad es verdadera para todos los valores de las variables dentro de su dominio. En cambio, una ecuación condicional sólo es verdadera para algunos valores concretos (las soluciones). Por ejemplo:

x² − 1 = (x − 1)(x + 1) es una identidad: la igualdad se cumple para cualquier x.
x² − 1 = 0 es una ecuación condicional: sólo es verdadera para x = 1 y x = −1.

En la práctica, la distinción es importante al simplificar expresiones, resolver problemas y demostrar propiedades generales.

Notación

El símbolo «=» se usa tanto para identidades como para ecuaciones. A veces se emplea «≡» o una triple barra para enfatizar una igualdad identitaria o de equivalencia lógica, pero hay que tener precaución: «≡» suele usarse también para la relación de congruencia en teoría de números (por ejemplo, a ≡ b (mod n)). Por eso es aconsejable aclarar el significado cuando se utiliza.

Cómo demostrar una identidad

Algunas estrategias habituales:

Partir de un lado de la igualdad y transformar algebraicamente hasta obtener el otro lado.
Restar ambos lados y simplificar la diferencia; si queda 0 para todas las variables (respetando el dominio), se ha probado la identidad.
Comprobar dominios: hay que vigilar restricciones (divisiones por cero, raíces pares, etc.) y especificar para qué valores de las variables la identidad es válida.

Ejemplo sencillo de demostración: para (a+b)² = a² + 2ab + b², al desarrollar el producto (a+b)(a+b) se obtiene término a término la expresión del lado derecho, por lo que la igualdad es válida para todos los números a y b.

Observaciones finales

Las identidades son herramientas fundamentales en matemáticas: permiten simplificar expresiones, establecer fórmulas generales, demostrar propiedades y relacionar distintas áreas (álgebra, trigonometría, análisis, teoría de números). Al trabajar con identidades conviene mantener claridad sobre el dominio de las variables y la notación empleada.

Ejemplos

Relación de identidad

Un ejemplo común del primer significado es la identidad trigonométrica

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^2}\theta +\cos ^2}\theta =1\,} $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$

lo que es cierto para todos los valores reales de θ {\displaystyle \theta } $\theta$ (ya que los números reales R {\displaystyle {\mathbb {R}} ${\mathbb {R}}$ son el dominio de sin y cos), a diferencia de

cos θ = 1 , {\desde el punto de vista de cos \theta =1,\} $\cos \theta =1,\,$

lo que es cierto sólo para los valores de θ {\displaystyle \theta } $\theta$ en un subconjunto del dominio.

Elemento de identidad

Los conceptos de "identidad aditiva" e "identidad multiplicativa" son fundamentales para los axiomas de Peano. El número 0 es la "identidad aditiva" para los números enteros, reales y complejos. Para los números reales, para todo a ∈ R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R},} $a\in {\mathbb {R}},$

0 + a = a , {\diseño de 0+a=a,\declaración,} $0+a=a,\,$

a + 0 = a , {\declaración a+0=a,\declaración,} $a+0=a,\,$ y

0 + 0 = 0. $0+0=0.\,$

Del mismo modo, el número 1 es la "identidad multiplicativa" para los números enteros, reales y complejos. Para los números reales, para todo a ∈ R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R},} $a\in {\mathbb {R}},$

1 × a = a , {\desde el punto de vista de los tiempos a=a,\} $1\times a=a,\,$

a × 1 = a , {\a veces 1=a,\a,} $a\times 1=a,\,$ y

1 × 1 = 1. {\a6}*Estilo de visualización 1\a6=1,} $1\times 1=1.\,$

Función de identidad

Un ejemplo común de una función de identidad es la permutación de identidad, que envía cada elemento del conjunto { 1 , 2 , ... , n } { $\{1,2,\ldots ,n\}$ a sí mismo.

Comparación

Estos significados no son mutuamente excluyentes; por ejemplo, la permutación de identidad es el elemento de identidad en el conjunto de permutaciones de { 1 , 2 , ... , n } {1,2, puntos, n, $\{1,2,\ldots ,n\}$ bajo la composición.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es una identidad en matemáticas?

R: Una identidad en matemáticas es una igualdad que sigue siendo cierta incluso si se cambian todas las variables que se utilizan en esa igualdad.

P: ¿Cuándo es verdadera una igualdad en sentido matemático?

R: Una igualdad en sentido matemático sólo es cierta en determinadas condiciones.

P: ¿Cuál es el símbolo de una identidad?

R: El símbolo utilizado para una identidad no está especificado, pero es probable que se utilice el signo igual (=).

P: ¿Cuál es el símbolo de una relación de congruencia?

R: El símbolo de una relación de congruencia es el mismo que el de una identidad, es decir, ≡.

P: ¿Cuántos usos importantes tiene el término identidad en matemáticas?

R: El término identidad tiene varios usos importantes en matemáticas.

P: ¿Cuál es la diferencia entre una identidad y una igualdad en sentido matemático?

R: Una identidad sigue siendo cierta aunque se cambien todas las variables que se usan en esa igualdad, mientras que una igualdad en sentido matemático sólo es cierta en condiciones más particulares.

P: ¿Se utiliza el mismo símbolo para una identidad y una relación de congruencia?

R: Sí, se puede utilizar el mismo símbolo (≡) para una identidad y una relación de congruencia.

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