Geometría algebraica

La geometría algebraica es una rama de las matemáticas que estudia las ecuaciones polinómicas. La geometría algebraica moderna se basa en técnicas más abstractas del álgebra abstracta, especialmente del álgebra conmutativa, con el lenguaje y los problemas de la geometría.

Los principales objetos de estudio de la geometría algebraica son las variedades algebraicas, que son manifestaciones geométricas de conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas. Ejemplos de las clases más estudiadas de variedades algebraicas son: las curvas algebraicas del plano, que incluyen las rectas, los círculos, las parábolas, las elipses, las hipérbolas, las curvas cúbicas como las elípticas y las cuárticas como las lemniscatas, y los óvalos de Cassini. Un punto del plano pertenece a una curva algebraica si sus coordenadas satisfacen una ecuación polinómica dada. Las cuestiones básicas implican el estudio de los puntos de especial interés como los puntos singulares, los puntos de inflexión y los puntos en el infinito. Las cuestiones más avanzadas implican la topología de la curva y las relaciones entre las curvas dadas por diferentes ecuaciones.

La geometría algebraica ocupa un lugar central en las matemáticas modernas. Los conceptos que utiliza la conectan con campos tan diversos como el análisis complejo, la topología y la teoría de números. Al principio, la geometría algebraica se dedicaba a estudiar sistemas de ecuaciones polinómicas en varias variables. La geometría algebraica comienza en el punto en el que se encuentra la resolución de ecuaciones: En muchos casos, encontrar las propiedades que tienen todas las soluciones de un determinado conjunto de ecuaciones es más importante que encontrar una solución concreta: esto nos lleva a algunas de las áreas más profundas de todas las matemáticas, tanto conceptualmente como en términos de técnica.

En el siglo XX, la geometría algebraica se ha dividido en varias subáreas.

• La corriente principal de la geometría algebraica se dedica al estudio de los puntos complejos de las variedades algebraicas y, más generalmente, a los puntos con coordenadas en un campo algebraicamente cerrado.
• El estudio de los puntos de una variedad algebraica con coordenadas en el campo de los números racionales o en un campo numérico se convirtió en geometría aritmética (o más clásicamente geometría diofántica), un subcampo de la teoría algebraica de los números.
• El estudio de los puntos reales de una variedad algebraica es el tema de la geometría algebraica real.
• Una gran parte de la teoría de la singularidad está dedicada a las singularidades de las variedades algebraicas.
• Cuando los ordenadores se hicieron más comunes, se desarrolló un campo llamado "geomería algebraica computacional". Se trata de la intersección entre la geometría algebraica y el álgebra computacional. Se ocupa del desarrollo de algoritmos y programas informáticos para estudiar y encontrar las propiedades de variedades algebraicas dadas explícitamente.

Gran parte del desarrollo de la corriente principal de la geometría algebraica en el siglo XX se produjo dentro de un marco algebraico abstracto, poniendo cada vez más énfasis en las propiedades "intrínsecas" de las variedades algebraicas que no dependen de ninguna forma particular de incrustar la variedad en un espacio de coordenadas ambiente. Los avances en topología, geometría diferencial y compleja se produjeron de forma muy similar. Un logro clave de esta geometría algebraica abstracta es la teoría de esquemas de Grothendieck, que permite utilizar la teoría de gavillas para estudiar las variedades algebraicas de una manera muy similar a su uso en el estudio de las variedades diferenciales y analíticas. Esto se obtiene ampliando la noción de punto: en la geometría algebraica clásica, un punto de una variedad afín puede identificarse, mediante el Nullstellensatz de Hilbert, con un ideal máximo del anillo de coordenadas, mientras que los puntos del esquema afín correspondiente son todos ideales primos de este anillo. Esto significa que un punto de dicho esquema puede ser un punto habitual o una subvariedad. Este enfoque también permite unificar el lenguaje y las herramientas de la geometría algebraica clásica, que se ocupa principalmente de los puntos complejos, y de la teoría algebraica de los números. La prueba de Wiles de la antigua conjetura llamada último teorema de Fermat es un ejemplo de la potencia de este enfoque.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la geometría algebraica?

P: ¿Qué técnicas se utilizan en la geometría algebraica moderna?

P: ¿Qué tipo de ecuaciones estudia la geometría algebraica?

P: ¿Cómo utiliza el álgebra abstracta?

P: ¿Existe un tipo específico de lenguaje utilizado en este campo?

P: ¿Cómo ha influido la tecnología moderna en este campo?

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