Variedad algebraica

En matemáticas, las variedades algebraicas (también llamadas variedades) son uno de los objetos centrales de estudio de la geometría algebraica. Las primeras definiciones de variedad algebraica la definían como el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas, sobre los números reales o complejos. Las definiciones modernas de una variedad algebraica generalizan esta noción al tiempo que intentan preservar la intuición geométrica que subyace a la definición original.

Las convenciones relativas a la definición de una variedad algebraica difieren: Algunos autores exigen que una "variedad algebraica" sea, por definición, irreducible (lo que significa que no es la unión de dos conjuntos menores cerrados en la topología de Zariski), mientras que otros no. Cuando se utiliza la primera convención, las variedades algebraicas no irreductibles se denominan conjuntos algebraicos.

La noción de variedad es similar a la de colector. Una diferencia entre una variedad y un colector es que una variedad puede tener puntos singulares, mientras que un colector no. Demostrado alrededor del año 1800, el teorema fundamental del álgebra establece un vínculo entre el álgebra y la geometría al mostrar que un polinomio mónico en una variable con coeficientes complejos (un objeto algebraico) está determinado por el conjunto de sus raíces (un objeto geométrico). Generalizando este resultado, el Nullstellensatz de Hilbert proporciona una correspondencia fundamental entre los ideales de los anillos de polinomios y los conjuntos algebraicos. Utilizando el Nullstellensatz y los resultados relacionados, los matemáticos han establecido una fuerte correspondencia entre las preguntas sobre conjuntos algebraicos y las preguntas de la teoría de anillos. Esta correspondencia es la especificidad de la geometría algebraica entre las demás subáreas de la geometría.



 La cúbica retorcida es una variedad algebraica proyectiva.Zoom
La cúbica retorcida es una variedad algebraica proyectiva.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué son las variedades algebraicas?


R: Las variedades algebraicas son uno de los objetos centrales de estudio de la geometría algebraica. Se definen como el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas, sobre los números reales o complejos.

P: ¿En qué se diferencian las definiciones modernas de la definición original?


R: Las definiciones modernas intentan conservar la intuición geométrica que subyace a la definición original, al tiempo que la generalizan. Algunos autores exigen que una "variedad algebraica" sea, por definición, irreducible (lo que significa que no es la unión de dos conjuntos menores cerrados en la topología de Zariski), mientras que otros no.

P: ¿Cuál es una diferencia entre una variedad y un múltiple?


R: Una variedad puede tener puntos singulares, mientras que un colector no.

P: ¿Qué establece el teorema fundamental del álgebra?


R: El teorema fundamental del álgebra establece un vínculo entre el álgebra y la geometría al demostrar que un polinomio mónico en una variable con coeficientes complejos (un objeto algebraico) está determinado por el conjunto de sus raíces (un objeto geométrico).

P: ¿Qué proporciona la Nullstellensatz de Hilbert?


R: La Nullstellensatz de Hilbert proporciona una correspondencia fundamental entre ideales de anillos polinómicos y conjuntos algebraicos.

P: ¿Cómo han utilizado los matemáticos esta correspondencia?


R: Los matemáticos han establecido una fuerte correspondencia entre cuestiones sobre conjuntos algebraicos y cuestiones de teoría de anillos utilizando esta correspondencia.

P: ¿Qué hace que esta área en particular sea única entre otras subáreas dentro de la geometría? R: Esta fuerte correspondencia entre cuestiones sobre conjuntos algebraicos y cuestiones de teoría de anillos hace que esta área en particular sea única entre otras subáreas dentro de la geometría.

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