Variedades algebraicas: definición y fundamentos de la geometría algebraica

Introducción clara a las variedades algebraicas: definición, ejemplos, singularidades, Nullstellensatz y fundamentos de la geometría algebraica para estudiantes y profesionales.

En matemáticas, las variedades algebraicas (también llamadas variedades) son uno de los objetos centrales de estudio de la geometría algebraica. Las primeras definiciones de variedad algebraica la definían como el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas, sobre los números reales o complejos. Las definiciones modernas de una variedad algebraica generalizan esta noción al tiempo que intentan preservar la intuición geométrica que subyace a la definición original.

Las convenciones relativas a la definición de una variedad algebraica difieren: Algunos autores exigen que una "variedad algebraica" sea, por definición, irreducible (lo que significa que no es la unión de dos conjuntos menores cerrados en la topología de Zariski), mientras que otros no. Cuando se utiliza la primera convención, las variedades algebraicas no irreductibles se denominan conjuntos algebraicos.

La noción de variedad es similar a la de colector. Una diferencia entre una variedad y un colector es que una variedad puede tener puntos singulares, mientras que un colector no. Demostrado alrededor del año 1800, el teorema fundamental del álgebra establece un vínculo entre el álgebra y la geometría al mostrar que un polinomio mónico en una variable con coeficientes complejos (un objeto algebraico) está determinado por el conjunto de sus raíces (un objeto geométrico). Generalizando este resultado, el Nullstellensatz de Hilbert proporciona una correspondencia fundamental entre los ideales de los anillos de polinomios y los conjuntos algebraicos. Utilizando el Nullstellensatz y los resultados relacionados, los matemáticos han establecido una fuerte correspondencia entre las preguntas sobre conjuntos algebraicos y las preguntas de la teoría de anillos. Esta correspondencia es la especificidad de la geometría algebraica entre las demás subáreas de la geometría.

Definición clásica y ejemplos

Clásicamente, una variedad algebraica afín se define como el conjunto de soluciones comunes de uno o varios polinomios en variables x1, ..., xn, considerados en un espacio afín Kn sobre un campo K (por ejemplo, K = R o C). Ejemplos sencillos que ayudan a la intuición son:

• La recta afín K (ecuación vacía).
• La curva cúbica definida por y^2 = x^3 + ax + b (una curva elíptica si el discriminante no es cero).
• Un círculo en R2, dado por x^2 + y^2 − 1 = 0 (un conjunto algebraico sobre R).
• Superficies como el cono x^2 + y^2 − z^2 = 0, que muestran ejemplos con puntos singulares en el vértice.

Topología de Zariski e irreducibilidad

La topología de Zariski es la que se usa habitualmente en geometría algebraica: sus conjuntos cerrados son precisamente los conjuntos algebraicos (los ceros comunes de ideales de polinomios). En esta topología las vecindades son «grandes» y muchos conjuntos familiares de la topología euclidiana son densos en Zariski. Un concepto central es el de irreducibilidad: una variedad es irreducible si no puede escribirse como la unión de dos cerrados propios. La descomposición en componentes irreducibles existe y es única (salvo el orden).

Anillo coordenado y Nullstellensatz

A una variedad afín V se le asocia su anillo coordenado K[V] = K[x1,...,xn]/I(V), donde I(V) es el ideal de todos los polinomios que se anulan en V. Este anillo recoge la información algebraica de la variedad: funciones regulares, singularidades, dimensión algebraica, etc. El Nullstellensatz de Hilbert (enunciado para campos algebraicamente cerrados como C) establece una correspondencia entre ideales radicales de K[x1,...,xn] y conjuntos algebraicos, lo que permite traducir preguntas geométricas en preguntas algebraicas y viceversa.

Variedades afines y proyectivas; campos de definición

Además de las variedades afines, las variedades proyectivas se definen en el espacio proyectivo Pn y son necesarias para estudiar objetos geométricos «en el infinito» (por ejemplo, curvas cerradas sin puntos extraños en el infinito). Las variedades pueden definirse sobre cualquier campo K; el comportamiento de los puntos K-racionales (puntos con coordenadas en K) depende fuertemente del campo: por ejemplo, una curva puede tener puntos reales o no, según las ecuaciones y el campo considerado.

Puntos singulares y suavidad

Un punto de una variedad se llama regular (o liso) si el anillo local en ese punto tiene propiedades de «suavidad» equivalentes a que la dimensión del espacio tangente coincide con la dimensión esperada; en caso contrario, el punto es singular. Las singularidades pueden ser simples (como un nodo) o muy complicadas. Existen teoremas profundos sobre la resolución de singularidades (por ejemplo, Hironaka en característica cero) que permiten, bajo ciertas hipótesis, «desingularizar» una variedad mediante transformaciones apropiadas.

Dimensión, funciones regulares y morfismos

La dimensión de una variedad puede definirse algebraicamente como la dimensión de Krull del anillo coordenado o geométricamente como la longitud máxima de cadenas estrictas de subvariedades cerradas. Las funciones regulares son las que localmente pueden expresarse como cociente de polinomios donde el denominador no se anula; los morfismos entre variedades son aplicaciones definidas por funciones regulares coordenada a coordenada. Además existe la noción de mapas racionales, que están definidos por fracciones de polinomios en un subconjunto denso.

Generalizaciones y panorama moderno

La noción clásica de variedad algebraica ha sido ampliada en la geometría algebraica moderna mediante la teoría de esquemas, que permite trabajar con variedades definidas sobre anillos generales, incluir información sobre multiplicidades y estudiar fenómenos aritméticos. Muchos resultados clásicos se ven como casos particulares dentro del lenguaje de esquemas.

Herramientas computacionales y aplicaciones

En la práctica, los conceptos anteriores se usan junto con herramientas algorítmicas como las bases de Gröbner para resolver sistemas polinómicos, calcular componentes irreducibles, dimensiones y bases de espacios de funciones. Las variedades algebraicas aparecen en numerosas áreas: criptografía (curvas elípticas), física teórica, teoría de números, robótica (cinemática mediante ecuaciones polinómicas), y en modelado geométrico.

Lecturas recomendadas (breve)

• Introducciones elementales a la geometría algebraica para comprender ejemplos afines y proyectivos.
• Textos sobre teoría de anillos y álgebra conmutativa para entender anillos coordenados y Nullstellensatz.
• Material sobre esquemas para avanzar hacia la geometría algebraica moderna.

En resumen, las variedades algebraicas son objetos que conectan de forma profunda la geometría y el álgebra: su estudio incluye desde la resolución de ecuaciones polinómicas hasta estructuras algebraicas finas que describen su forma, singularidades y simetrías.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué son las variedades algebraicas?

P: ¿En qué se diferencian las definiciones modernas de la definición original?

P: ¿Cuál es una diferencia entre una variedad y un múltiple?

P: ¿Qué establece el teorema fundamental del álgebra?

P: ¿Qué proporciona la Nullstellensatz de Hilbert?

P: ¿Cómo han utilizado los matemáticos esta correspondencia?

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