Error estándar: definición y cálculo

Una forma de encontrar el error estándar de la media es tener muchas muestras. En primer lugar, se calcula la media de cada muestra. A continuación, se calcula la media y la desviación típica de esas medias muestrales. La desviación estándar de todos los promedios de las muestras es el error estándar de la media. Esto puede suponer mucho trabajo. A veces es demasiado difícil o cuesta demasiado dinero tener muchas muestras.

Otra forma de encontrar el error estándar de la media es utilizar una ecuación que sólo necesita una muestra. El error estándar de la media suele estimarse mediante la desviación estándar de una muestra de todo el grupo (desviación estándar de la muestra) dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.

S E x ¯ = s n {\displaystyle SE_{\bar {x}} = {\frac {s} {\sqrt {n}}}}

donde

s es la desviación estándar de la muestra (es decir, la estimación basada en la muestra de la desviación estándar de la población), y

n es el número de mediciones de la muestra.

¿Qué tamaño debe tener la muestra para que la estimación del error estándar de la media se acerque al error estándar real de la media de todo el grupo? Debe haber al menos seis mediciones en la muestra. Entonces el error estándar de la media de la muestra estará dentro del 5% del error estándar de la media si se midiera todo el grupo.

Existe otra ecuación que debe utilizarse si el número de mediciones es igual o superior al 5% de todo el grupo:

Existen ecuaciones especiales que deben utilizarse si una muestra tiene menos de 20 mediciones.

A veces una muestra procede de un solo lugar aunque todo el grupo esté repartido. También, a veces, una muestra puede realizarse en un periodo de tiempo corto cuando todo el grupo abarca un tiempo más largo. En este caso, los números de la muestra no son independientes. Entonces se utilizan ecuaciones especiales para intentar corregir esto.

Un resultado práctico: Uno puede estar más seguro de un valor medio teniendo más mediciones en una muestra. Entonces el error estándar de la media será menor porque la desviación estándar se divide por un número mayor. Sin embargo, para que la incertidumbre (error estándar de la media) de un valor medio sea la mitad, el tamaño de la muestra (n) debe ser cuatro veces mayor. Esto se debe a que la desviación estándar se divide por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Para que la incertidumbre sea una décima parte, el tamaño de la muestra (n) debe ser cien veces mayor.

Los errores estándar son fáciles de calcular y se utilizan mucho porque:

• Si se conoce el error estándar de varias magnitudes individuales, se puede calcular fácilmente el error estándar de alguna función de las magnitudes en muchos casos;
• Cuando se conoce la distribución de la probabilidad del valor, puede utilizarse para calcular una buena aproximación a un intervalo de confianza exacto; y
• Cuando no se conoce la distribución de la probabilidad, se pueden utilizar otras ecuaciones para estimar un intervalo de confianza
• Cuando el tamaño de la muestra es muy grande, el principio del teorema del límite central muestra que los números de la muestra son muy parecidos a los del grupo entero (tienen una distribución normal).

El error estándar relativo (RSE) es el error estándar dividido por la media. Este número es menor que uno. Si se multiplica por el 100%, se obtiene como porcentaje de la media. Esto ayuda a mostrar si la incertidumbre es importante o no. Por ejemplo, consideremos dos encuestas sobre los ingresos de los hogares que dan como resultado una media muestral de 50.000 dólares. Si una encuesta tiene un error estándar de 10.000 dólares y la otra tiene un error estándar de 5.000 dólares, entonces los errores estándar relativos son del 20% y del 10% respectivamente. La encuesta con el error estándar relativo más bajo es mejor porque tiene una medición más precisa (la incertidumbre es menor).

De hecho, las personas que necesitan conocer los valores medios suelen decidir lo pequeña que debe ser la incertidumbre antes de decidirse a utilizar la información. Por ejemplo, el Centro Nacional de Estadísticas de Salud de EE.UU. no informa de una media si el error estándar relativo supera el 30%. El NCHS también exige al menos 30 observaciones para que se informe de una estimación. ^[]

Por ejemplo, hay muchas gallinetas en las aguas del Golfo de México. Para saber cuánto pesa de media una gallineta de 42 cm, no es posible medir todas las gallineta que miden 42 cm. En cambio, es posible medir algunas de ellas. Los peces que se miden se denominan muestra. La tabla muestra los pesos de dos muestras de gallinetas, todas ellas de 42 cm de longitud. El peso medio de la primera muestra es de 0,741 kg. El peso medio de la segunda muestra es de 0,735 kg, un poco diferente al de la primera. Cada una de estas medias es un poco diferente de la media que se obtendría midiendo cada gallineta de 42 cm de longitud (lo que no es posible de todos modos).

La incertidumbre en la media puede utilizarse para saber lo cerca que está la media de las muestras de la media que se obtendría al medir todo el grupo. La incertidumbre en la media se estima como la desviación estándar de la muestra, dividida por la raíz cuadrada del número de muestras menos uno. La tabla muestra que las incertidumbres en las medias de las dos muestras están muy próximas entre sí. Además, la incertidumbre relativa es la incertidumbre en la media dividida por la media, multiplicada por el 100%. La incertidumbre relativa en este ejemplo es de 2,38% y 2,50% para las dos muestras.

Conociendo la incertidumbre en la media, se puede saber lo cerca que está la media de la muestra de la media que se obtendría al medir todo el grupo. La media de todo el grupo está entre a) la media de la muestra más la incertidumbre en la media, y b) la media de la muestra menos la incertidumbre en la media. En este ejemplo, se espera que el peso medio de todas las gallinetas de 42 cm de longitud del Golfo de México sea de 0,723-0,759 kg según la primera muestra, y de 0,717-0,753 según la segunda.