Teorema del límite central | teoremas sobre los comportamientos límite de las distribuciones de probabilidad agregadas

En la teoría de la probabilidad y la estadística, los teoremas del límite central, abreviados como CLT, son teoremas sobre los comportamientos límite de las distribuciones de probabilidad agregadas. Dicen que dado un gran número de variables aleatorias independientes, su suma seguirá una distribución estable. Si la varianza de las variables aleatorias es finita, entonces resultará una distribución gaussiana. Esta es una de las razones por las que esta distribución se conoce también como distribución normal.

El más conocido e importante de ellos es el llamado teorema del límite central. Se trata de un gran número de variables aleatorias con la misma distribución, cada una con una varianza y un valor esperado idénticos.

Más concretamente, si X 1 , ... , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} $X_{1},\ldots ,X_{n}$ son n variables aleatorias idénticas y distribuidas independientemente con media μ {\displaystyle \mu } $\mu$ y desviación estándar σ {\displaystyle \sigma } $\sigma$ , entonces la distribución de su media muestral, ( X 1 + ⋯ $(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$ , a medida que n es grande, es aproximadamente normal con una media μ {\displaystyle \mu } $\mu$ y una desviación estándar σ n {\displaystyle {\tfrac {\sigma } {\sqrt {n}}}} ${\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}$ . Además, la distribución de su suma, X 1 + ⋯ $X_{1}+\cdots +X_{n}$ , a medida que n se hace grande, también es aproximadamente normal, con una media n μ {\displaystyle n\mu } $n\mu$ y una desviación estándar n σ {\displaystyle {\sqrt {n}\sigma } ${\sqrt {n}}\sigma$ .

Existen diferentes generalizaciones de este teorema. Algunas de estas generalizaciones ya no requieren una distribución idéntica de todas las variables aleatorias. En estas generalizaciones, otra condición previa asegura que ninguna variable aleatoria tenga mayor influencia en el resultado que las demás. Algunos ejemplos son las condiciones de Lindeberg y Lyapunov.

El nombre del teorema se basa en un artículo que George Pólya escribió en 1920, Sobre el teorema del límite central en la teoría de la probabilidad y el problema del momento.

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Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es el Teorema Central del Límite?

R: El Teorema Central del Límite (CLT) es un teorema sobre los comportamientos límite de las distribuciones de probabilidad agregadas. Afirma que dado un gran número de variables aleatorias independientes, su suma seguirá una distribución estable. Si la varianza de las variables aleatorias es finita, entonces resultará una distribución gaussiana.

P: ¿Quién escribió el artículo en el que se basó este teorema?

R: George Pَlya escribió el artículo "Sobre el teorema central del límite en la teoría de la probabilidad y el problema del momento" en 1920, que sirvió de base para este teorema.

P: ¿Qué tipo de distribución resulta cuando todas las variables aleatorias tienen varianza finita?

R: Cuando todas las variables aleatorias tienen varianza finita, al aplicar la CLT resultará una distribución gaussiana o normal.

P: ¿Existen generalizaciones de la CLT?

R: Sí, existen diferentes generalizaciones de la CLT que ya no requieren una distribución idéntica de todas las variables aleatorias. Estas generalizaciones incluyen las condiciones de Lindeberg y Lyapunov, que garantizan que ninguna variable aleatoria tenga más influencia que otras en el resultado.

P: ¿Cómo funcionan estas generalizaciones?

R: Estas generalizaciones garantizan que ninguna variable aleatoria tenga más influencia que otras en el resultado introduciendo condiciones previas adicionales como las condiciones de Lindeberg y Lyapunov.

P: ¿Qué dice la CLT sobre la media muestral y la suma de un gran número de variables aleatorias independientes con la misma distribución?

R: Según CLT, si n variables aleatorias idénticas e independientemente distribuidas con una media ى {\mu} y una desviación estándar َ {\sigma} , entonces su media muestral (X1+...+Xn)/n será aproximadamente normal con media ى {\displaystyle \mu } y desviación típica َ/√n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{sqrt {n}}}} . Además, su suma X1+...+Xn también será aproximadamente normal con media nى {\displaystyle n\mu } y desviación típica √nَ {\displaystyle {\sqrt {n}\sigma } .