Distribución de Poisson: definición, fórmula y aplicaciones

Definición y fórmula

Cuando una variable aleatoria entera no negativa X sigue una distribución de Poisson con parámetro λ (lambda), la probabilidad de que X sea igual a x viene dada por la función de masa de probabilidad (PMF): P(X = x) = e^-λ λ^x / x! para x = 0, 1, 2, … . El parámetro λ > 0 representa tanto el valor esperado como la varianza de la distribución. Esta forma simple hace que la Poisson sea especialmente práctica para la modelización y la inferencia en muchos contextos aplicados.

Propiedades clave

• Media y varianza: ambas son iguales a λ, por lo que la dispersión está ligada directamente a la tasa.
• Soporte: solo enteros no negativos, por lo que es una distribución discreta.
• Additividad: los conteos Poisson independientes con parámetros λ1 y λ2 se combinan en una Poisson con parámetro λ1+λ2.
• Relación con procesos: los conteos en intervalos disjuntos son independientes en un proceso de Poisson; los tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial.

Origen y relaciones

El nombre honra al matemático Siméon Denis Poisson. Una manera de obtener la distribución de Poisson es como límite de la distribución binomial cuando el número de ensayos crece mucho mientras el número esperado de éxitos permanece fijo. Para valores grandes de λ, la Poisson puede aproximarse mediante una distribución normal con media y varianza λ; para valores pequeños de λ, modela eventos raros de forma más natural que la normal. Sus vínculos con la distribución exponencial y con procesos de incrementos independientes la convierten en un elemento fundamental de la teoría de procesos estocásticos.

Aplicaciones, estimación y advertencias

El modelo de Poisson se usa ampliamente para contar sucesos como llamadas a un centro de atención, llegadas a una cola, defectos raros en la fabricación u ocurrencias de ciertos eventos biológicos. La estimación de parámetros es sencilla: el estimador de máxima verosimilitud de λ es la media muestral de los recuentos observados. Entre las comprobaciones prácticas está la prueba de sobredispersión (varianza observada mayor que la media), que puede indicar que un modelo de Poisson no es adecuado; entre las alternativas se incluyen la binomial negativa o los modelos de mezcla.

Diferencias útiles y notas

Las hipótesis importantes son la independencia de los eventos, una tasa constante λ durante la ventana de observación y la exclusión de ocurrencias simultáneas en un intervalo infinitesimal. Las violaciones de estas hipótesis, como la agrupación, la estacionalidad o las tasas no estacionarias, requieren modelos ampliados. Para herramientas de cálculo y lecturas adicionales sobre derivaciones, demostraciones y aplicaciones, véanse textos introductorios de probabilidad y recursos de estadística aplicada. Para términos técnicos, puedes seguir entradas relacionadas sobre distribuciones de probabilidad y sobre el parámetro lambda.