Principia Mathematica: fundamentos de las matemáticas (Whitehead y Russell)
Principia Mathematica: la obra de Whitehead y Russell sobre los fundamentos y axiomas de la matemática, su significado histórico y el impacto del teorema de Gödel.
Para el libro de Isaac Newton que contiene las leyes básicas de la física, véase Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica
Recuerdo que Bertrand Russell me contó un sueño horrible. Estaba en el último piso de la Biblioteca de la Universidad, alrededor del año 2100. Un ayudante de la biblioteca recorría las estanterías con un enorme cubo, descolgando libros, echándoles un vistazo, devolviéndolos a las estanterías o vertiéndolos en el cubo. Por fin, llegó a tres grandes volúmenes que Russell pudo reconocer como el último ejemplar superviviente de Principia Mathematica. Bajó uno de los volúmenes, pasó algunas páginas, pareció desconcertado por un momento por el curioso simbolismo, cerró el volumen, lo balanceó en su mano y dudó....
Hardy, G. H. (2004) [1940]. A Mathematician's Apology. Cambridge: University Press. p. 83. ISBN 978-0-521-42706-7.
Los Principia Mathematica son una obra monumental en tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas de Alfred North Whitehead y Bertrand Russell. Se publicaron originalmente en 1910, 1912 y 1913; en 1927 apareció una segunda edición que incluye una importante Introducción a la segunda edición y notas adicionales. A menudo se abrevia como PM.
Objetivo y contexto
El propósito fundamental de PM era el programa del logicismo: mostrar que las verdades matemáticas pueden ser derivadas a partir de un pequeño conjunto de axiomas y reglas de inferencia formulados en lógica simbólica. Los autores pretendían construir la aritmética, la teoría de los conjuntos, la teoría de los números reales y otras ramas de las matemáticas sobre una base puramente lógica, siguiendo y extendiendo el trabajo previo de Gottlob Frege.
Estructura y contenido
PM está organizado en tres volúmenes que progresan desde la lógica simbólica y la teoría de clases hasta la deducción de resultados matemáticos clásicos. En líneas generales los contenidos incluyen:
- Fundamentos de la lógica simbólica: proposiciones, funciones proposicionales, cuantificadores y reglas de inferencia.
- Teoría de las clases y relaciones; definición formal de número natural y operaciones aritméticas básicas.
- Desarrollo de los números cardinales y ordinales, tratamiento de los números reales y temas relacionados con series y análisis.
La presentación se caracteriza por una notación simbólica densa y por demostraciones extremadamente detalladas; es famosa, por ejemplo, la derivación formal de la igualdad 1 + 1 = 2 dentro del sistema (la prueba aparece profundamente desarrollada en el volumen correspondiente).
Notación, métodos y la teoría de tipos
Whitehead y Russell introdujeron una notación lógica exhaustiva y varias innovaciones metodológicas. Para evitar la paradoja descubierta por Russell (la llamada paradoja de Russell), propusieron la teoría de tipos ramificada, que impone niveles jerárquicos a los objetos y predicados y prohíbe ciertas autoaplicaciones que originan contradicciones.
Además, para mantener la eficacia del sistema, incorporaron el conocido axioma de reducibilidad, que garantiza que para cada función proposicional existe una equivalente "no ramificada". Este axioma, aunque útil, fue criticado por muchos porque parece introducir una asunción fuerte y no puramente lógica dentro del programa logicista.
Impacto del teorema de Gödel y consecuencias
La ambición de que PM u otro sistema formal pudieran capturar todas las verdades matemáticas se vio socavada por el teorema de incompletitud de Kurt Gödel (1931). Gödel demostró que en cualquier sistema formal consistente y suficientemente expresivo (capaz de representar la aritmética básica) existen proposiciones verdaderas que no pueden demostrarse dentro del propio sistema. En términos prácticos, esto implicó que el ideal logicista en su forma original —la posibilidad de reducir toda la matemática a unas pocas reglas lógicas completas y consistentes— no era alcanzable.
Recepción, críticas e influencia
Principia Mathematica tuvo y sigue teniendo una influencia profunda en la lógica matemática, la filosofía analítica y el desarrollo de la teoría de la computación. Entre sus efectos más relevantes se cuentan:
- Impulso decisivo al desarrollo de la lógica simbólica moderna y a la formalización rigurosa del razonamiento matemático.
- Influencia en filósofos y lógicos posteriores (por ejemplo, Ludwig Wittgenstein, que trabajó tempranamente sobre problemas relacionados con la lógica y el lenguaje).
- Críticas importantes: la complejidad y la longitud de las demostraciones, la aparente artificialidad del axioma de reducibilidad y la dificultad práctica de usar la notación de PM.
- Inspiración para enfoques alternativos de los fundamentos, como la teoría axiomática de conjuntos (Zermelo–Fraenkel), el formalismo y el intuicionismo, y, más tarde, el desarrollo de la teoría de la computación y la lógica matemática aplicada.
Limitaciones y legado
A pesar de sus limitaciones, PM permanece como una obra histórica clave. Aunque Gödel mostró que el ideal de completar la matemática por medios puramente lógicos era imposible en la forma planteada, el esfuerzo de Whitehead y Russell clarificó muchas cuestiones fundamentales y sentó las bases para trabajos posteriores sobre consistencia, completitud y formalización. Los problemas que planteó su teoría de tipos y el axioma de reducibilidad motivaron refinar y diversificar las aproximaciones a los fundamentos de la matemática.
Ediciones, traducciones y valor histórico
La segunda edición de 1927 incorporó correcciones y una introducción adicional de importancia histórica. Desde entonces Principia Mathematica ha sido objeto de múltiples ediciones y estudios críticos, y se mantiene como referencia obligada para quien estudie la historia de la lógica y la filosofía de las matemáticas. La Modern Library lo situó en el puesto 23 de una lista de los 100 mejores libros de no ficción en lengua inglesa del siglo XX.
En resumen, Principia Mathematica fue un proyecto ambicioso y riguroso que marcó una era en la formalización lógica. Aunque el proyecto logicista no alcanzó su objetivo último, la obra de Whitehead y Russell dejó un legado duradero: clarificó problemas, avanzó técnicas y motivó décadas de trabajo en fundamentos, lógica y filosofía.
La portada de la versión abreviada de los Principia Mathematica a *56
Preguntas y respuestas
P: ¿Cuál es el título del libro de Isaac Newton?
R: El título del libro de Isaac Newton es Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
P: ¿Quién escribió los Principia Mathematica?
R: Los Principia Mathematica fueron escritos por Alfred North Whitehead y Bertrand Russell.
P: ¿Cuándo se publicaron los Principia Mathematica?
R: Los Principia Mathematica se publicaron en 1910, 1912 y 1913.
P: ¿Qué creían los autores que podían hacer con el libro?
R: Los autores creían que podían utilizar el libro para describir un conjunto de axiomas, reglas de inferencia y ley de no contradicción en lógica simbólica a partir de los cuales se podrían demostrar en principio todas las verdades matemáticas.
P: ¿Cómo demostró el teorema de incompletitud de Gödel que este objetivo era imposible?
R: El teorema de incompletitud de Gödel demostró que para cualquier conjunto de axiomas y reglas de inferencia propuestos, o bien el sistema debía ser incoherente, o bien debía haber de hecho algunas verdades de las matemáticas que no pudieran deducirse de ellos. Por lo tanto, demostró que este ambicioso proyecto era imposible de alcanzar.
P: ¿Quién inspiró y motivó a PM?
R: PM se inspiró y motivó en los trabajos anteriores de Gottlob Frege sobre lógica.
P: ¿En qué se diferencia PM de los Principios de Matemáticas de Russell de 1903?
R: PM difiere de los Principios de Matemáticas de Russell de 1903 porque PM afirma "La presente obra fue originalmente pensada por nosotros para ser... un segundo volumen de Principios de Matemáticas... Pero a medida que avanzábamos, se hizo cada vez más evidente que el tema es mucho más amplio de lo que habíamos supuesto..."
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