Geometría no euclidiana: sistemas hiperbólicos y elípticos

Idea básica

El postulado de las paralelas de Euclides afirma, en términos generales, que por un punto que no está sobre una recta dada pasa exactamente una recta que no corta a la recta dada. Las geometrías no euclidianas cambian esa afirmación: algunas eliminan la unicidad y permiten muchas rectas de ese tipo, mientras que otras eliminan por completo esa posibilidad. La noción de recta se sustituye por la de geodésica, es decir, el camino más corto entre dos puntos cercanos en la geometría elegida.

Tipos principales

• Geometría hiperbólica: en esta forma existen infinitas rectas distintas que pasan por un punto y no cortan una recta dada. Entre los modelos del espacio hiperbólico se incluyen el disco de Poincaré y el modelo del hiperboloide, y el tema se relaciona con el estudio de la curvatura negativa constante. Geometría hiperbólica
• Geometría elíptica (esférica): aquí no hay dos geodésicas distintas que sean paralelas; cualquier par de círculos máximos sobre una esfera se encuentra en dos puntos antipodales. Esto corresponde a una curvatura positiva constante y no tiene paralelas en el sentido euclidiano.

Paralelas y geodésicas

La noción de líneas paralelas cambia entre estos sistemas. En un plano plano (geometría euclidiana), las líneas paralelas mantienen una distancia fija y nunca se encuentran. En una esfera, geodésicas como los círculos máximos pueden parecer localmente paralelas, pero aun así intersectarse en otro lugar (por ejemplo, los meridianos se encuentran en los polos). En el espacio hiperbólico, muchas geodésicas que pasan por un punto evitan una línea de referencia dada.

Ejemplos y aplicaciones

Una ilustración sencilla del comportamiento no euclidiano es trazar líneas rectas sobre una esfera: las rutas más cortas entre puntos son arcos de círculos máximos, y estos arcos pueden cruzarse incluso cuando parecen paralelos desde un punto de vista local. Las ideas no euclidianas son importantes en la matemática y la física modernas; por ejemplo, los modelos de espacio curvo desempeñan un papel en la relatividad general y en ciertas áreas de la topología y la teoría de grupos.

Notas históricas

Durante comienzos del siglo XIX, matemáticos como Gauss, János Bolyai y Nikolai Lobachevsky desarrollaron sistemas consistentes que contradecían el postulado de las paralelas, mientras que Bernhard Riemann describió más tarde geometrías de curvatura arbitraria. Su trabajo mostró que la quinta suposición de Euclides no era una necesidad lógica, sino una elección que determina el comportamiento global de las líneas y las distancias.