Mediana (medida de tendencia central)

Cómo se calcula la mediana

Para calcular la mediana de una lista finita, primero se ordenan los valores de menor a mayor. Si la longitud de la lista n es impar, la mediana es el elemento central en la posición (n+1)/2 de la secuencia ordenada. Si n es par, hay dos convenciones comunes: tomar la media aritmética de los dos valores centrales o elegir uno de esos dos valores (por ejemplo, el menor o el mayor). Usar la media del par central hace que la mediana sea un número real único incluso cuando el conjunto de datos contiene solo enteros; la convención alternativa, con valor entero, mantiene la mediana igual a un dato observado.

En distribuciones continuas, la mediana es el valor m para el que la función de distribución acumulada vale 0.5. En la práctica, para datos agrupados o por intervalos, puede interpolarse entre los límites de clase para estimar la mediana. Para muestras ponderadas, una mediana ponderada generaliza la idea al buscar un punto de corte que equilibre el peso total a ambos lados.

Propiedades y robustez

La mediana es robusta: se ve mucho menos afectada por valores extremos u observaciones de cola pesada que la media aritmética. Por eso suele preferirse como medida de tendencia central en distribuciones asimétricas, como las de ingresos o precios de viviendas, donde unas pocas observaciones muy grandes pueden distorsionar la media. Desde el punto de vista estadístico, la mediana muestral es un estimador de la mediana poblacional y, bajo condiciones generales suaves, es consistente y asintóticamente normal.

Variantes, aplicaciones y ejemplos

• Ejemplo sencillo: la mediana de {2, 5, 7} es 5; la mediana de {2, 5, 7, 9} es (5+7)/2 = 6.
• Mediana ponderada: útil cuando cada observación tiene distinta importancia o frecuencia.
• Mediana geométrica y mediana espacial: extensiones usadas en datos multivariantes para minimizar la distancia total a todos los puntos.
• Filtros de mediana: herramienta no lineal común en el procesamiento de señales e imágenes que elimina ruido impulsivo sin difuminar tanto los bordes como un promedio lineal.

La mediana se usa ampliamente en informes descriptivos (ingreso mediano del hogar, precio mediano de la vivienda), en procedimientos estadísticos robustos y en reglas de decisión que buscan un resultado central representativo menos sensible a los valores atípicos que la media. Debe informarse junto con medidas de dispersión (rango intercuartílico, desviación absoluta mediana) para expresar la variabilidad.

Historia, notación y distinciones notables

La noción de un valor medio o divisor ha formado parte del análisis descriptivo durante mucho tiempo; el uso formal moderno del término “mediana” y su estudio sistemático se consolidaron en los siglos XIX y principios del XX, a medida que la estadística se desarrollaba como disciplina. La notación varía: la mediana de una variable X suele escribirse med(X) o ~X. A diferencia de la media, que minimiza la desviación cuadrática, la mediana minimiza la suma de las desviaciones absolutas y, por tanto, encarna un criterio de optimalidad distinto.

Temas relacionados y lecturas adicionales: teoría de la probabilidad, estadística, número, finito, número impar, número par, media, de valor ordinal, muestra, sesgado, estimador estadístico.