Análisis matemático | Examina las funciones, las secuencias y las series

El análisis matemático es una parte de las matemáticas. A menudo se abrevia como análisis. Examina las funciones, las secuencias y las series. Éstas tienen propiedades y características útiles que pueden utilizarse en ingeniería. El análisis matemático proporciona una base lógica rigurosa al cálculo, que estudia las funciones continuas, la diferenciación y la integración. El análisis matemático es una versión abreviada de su antiguo nombre "análisis infinitesimal", y algunos de sus subcampos clave incluyen el análisis real, el análisis complejo, la ecuación de diferenciación y el análisis funcional.

Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton desarrollaron la mayor parte de las bases del análisis matemático.

Partes del análisis matemático

Límites

Un concepto fundamental en el análisis matemático es el concepto de límite. Los límites se utilizan para ver lo que ocurre cuando las cosas están muy cerca. Los límites también se pueden utilizar para ver lo que ocurre cuando las cosas son muy grandes. ${\tfrac {1}{n}}$ ${\tfrac {1}{n}}$ Por ejemplo, 1 n {{displaystyle {\tfrac {1}{n}}} nunca es cero, pero a medida que n se hace más grande, 1 n {{displaystyle {\tfrac {1}{n}}} se acerca cada vez más a cero. El límite de 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}} ${\tfrac {1}{n}}$ a medida que n se hace más grande es cero. Esto se describe como "El límite de 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}} ${\tfrac {1}{n}}$ a medida que n va al infinito es cero", y se escribe como lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{n}{infty }{frac {1}{n}=0} $\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ .

La contrapartida sería 2 × n {desde el punto de vista de la visualización {2} {n}. ${2}\times {n}$ . ${n}$ Cuando el n {\displaystyle {n}} se hace más grande, el límite va al infinito. Se escribe como lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } $\lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty$ .

El teorema fundamental del álgebra se puede demostrar a partir de algunos resultados básicos del análisis complejo. f(x) Dice que todo polinomio f ( x ) {\displaystyle f(x)} con coeficientes reales o complejos tiene una raíz compleja (donde una raíz es un número x que satisface la ecuación f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} $f(x)=0$ , y algunas de estas raíces pueden ser iguales).

Cálculo diferencial

La función f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} $f(x)={m}{x}+{c}$ es una recta. ${m}$ La m {\displaystyle {m}} muestra la pendiente de la función y la c {\displaystyle {c}} ${c}$ muestra la posición de la función en la ordenada. Con dos puntos en la recta, es posible calcular la pendiente m {\displaystyle {m}} ${m}$ con:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} $m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ .

Una función de la forma f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ que no es lineal, no puede calcularse como la anterior. Sólo es posible calcular la pendiente utilizando tangentes y secantes. La secante pasa por dos puntos y cuando los dos puntos se acercan, se convierte en una tangente.

La nueva fórmula es m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} $m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$ .

Esto se llama cociente de diferencia. $x_{1}$ La x 1 {displaystyle x_{1}} se acerca ahora a la x 0 {\displaystyle x_{0}} $x_{0}$ . Esto se puede expresar con la siguiente fórmula:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=lim _{x\rightarrow x_{0}}{frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} $f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ .

El resultado se llama derivada o pendiente de f en el punto x. ${x}$ .

Integración

La integración consiste en el cálculo de áreas.

El símbolo ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\t,\mathrm {d} x} $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

se lee como "la integral de f con respecto a x desde a hasta b", y se refiere al área entre el eje x, la gráfica de la función f, y las líneas x=a y x=b. El a {\displaystyle a} es el punto donde debe comenzar el área, y el b {\displaystyle b} $b$ donde debe terminar el área.

Páginas relacionadas

Temas de análisis

Cálculo
Análisis complejo
Análisis funcional
Análisis numérico

Conceptos en el análisis

Serie
Secuencia
Derivado
Integral

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es el análisis matemático?

R: El análisis matemático es una parte de las matemáticas que estudia las funciones, las secuencias y las series. Proporciona una base lógica rigurosa al cálculo que estudia las funciones continuas, la diferenciación y la integración.

P: ¿Cuáles son algunos subcampos clave del análisis matemático?

R: Algunos subcampos clave del análisis matemático son el análisis real, el análisis complejo, la ecuación diferencial y el análisis funcional.

P: ¿Cómo se puede utilizar el análisis matemático en la ingeniería?

R: El análisis matemático puede utilizarse en ingeniería examinando las propiedades y características útiles de las funciones, las secuencias y las series.

P: ¿Quién desarrolló la mayor parte de las bases del análisis matemático?

R: Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton desarrollaron la mayor parte de las bases del análisis matemático.

P: ¿Cuál era el antiguo nombre del análisis matemático?

R: El antiguo nombre del análisis matemático era "infinitesimal" o "cálculo".

P: ¿Qué relación tiene el cálculo con el análisis matemático?

R: El cálculo estudia las funciones continuas, la diferenciación y la integración, todas ellas relacionadas con el campo de las matemáticas conocido como Análisis Matemático.