Análisis matemático: fundamentos, ramas y aplicaciones

Límites

Un concepto fundamental en el análisis matemático es el concepto de límite. Los límites se utilizan para ver lo que ocurre cuando las cosas están muy cerca. Los límites también se pueden utilizar para ver lo que ocurre cuando las cosas son muy grandes. Por ejemplo, 1 n {{displaystyle {\tfrac {1}{n}}} nunca es cero, pero a medida que n se hace más grande, 1 n {{displaystyle {\tfrac {1}{n}}} se acerca cada vez más a cero. El límite de 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}} a medida que n se hace más grande es cero. Esto se describe como "El límite de 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}} a medida que n va al infinito es cero", y se escribe como lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{n}{infty }{frac {1}{n}=0} .

La contrapartida sería 2 × n {desde el punto de vista de la visualización {2} {n}. . Cuando el n {\displaystyle {n}} se hace más grande, el límite va al infinito. Se escribe como lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } .

El teorema fundamental del álgebra se puede demostrar a partir de algunos resultados básicos del análisis complejo. Dice que todo polinomio f ( x ) {\displaystyle f(x)} con coeficientes reales o complejos tiene una raíz compleja (donde una raíz es un número x que satisface la ecuación f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} , y algunas de estas raíces pueden ser iguales).

Cálculo diferencial

La función f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} es una recta. La m {\displaystyle {m}} muestra la pendiente de la función y la c {\displaystyle {c}} muestra la posición de la función en la ordenada. Con dos puntos en la recta, es posible calcular la pendiente m {\displaystyle {m}} con:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} .

Una función de la forma f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} que no es lineal, no puede calcularse como la anterior. Sólo es posible calcular la pendiente utilizando tangentes y secantes. La secante pasa por dos puntos y cuando los dos puntos se acercan, se convierte en una tangente.

La nueva fórmula es m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

Esto se llama cociente de diferencia. La x 1 {displaystyle x_{1}} se acerca ahora a la x 0 {\displaystyle x_{0}} . Esto se puede expresar con la siguiente fórmula:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=lim _{x\rightarrow x_{0}}{frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

El resultado se llama derivada o pendiente de f en el punto x. .

Integración

La integración consiste en el cálculo de áreas.

El símbolo ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\t,\mathrm {d} x}

se lee como "la integral de f con respecto a x desde a hasta b", y se refiere al área entre el eje x, la gráfica de la función f, y las líneas x=a y x=b. El a {\displaystyle a} es el punto donde debe comenzar el área, y el b {\displaystyle b} donde debe terminar el área.

Temas de análisis

• Cálculo
• Análisis complejo
• Análisis funcional
• Análisis numérico

Conceptos en el análisis

• Serie
• Secuencia
• Derivado
• Integral