Distribución de Gumbel
La distribución de Gumbel es una distribución deprobabilidad de valores extremos.
En la teoría de la probabilidad y la estadística, la distribución de Gumbel se utiliza para modelar la distribución del máximo (o el mínimo) de un número de muestras de diversas distribuciones.
Una distribución de este tipo podría utilizarse para representar la distribución del nivel máximo de un río en un año concreto si se dispusiera de una lista de valores máximos de los últimos diez años. También es útil para predecir la probabilidad de que se produzca un terremoto extremo, una inundación u otra catástrofe natural.
Función de distribución de probabilidad de Gumbel (PDF)
Función de distribución acumulativa de Gumbel (CDF)
Propiedades
La distribución de Gumbel es una distribución de probabilidad continua. Las distribuciones de Gumbel son una familia de distribuciones con la misma forma general. Estas distribuciones se diferencian por sus parámetros de localización y escala: la media ("promedio") de la distribución define su localización, y la desviación estándar ("variabilidad") define la escala.
Se reconoce la función de densidad de probabilidad de Gumbel (PDF) y la función de distribución acumulativa de Gumbel (CDF).
En la PDF, la probabilidad P de que un valor V ocurra entre los límites A y B, brevemente escrita como P(A<V<B), se encuentra por el área bajo la curva de la PDF entre A y B.
| Ejemplo de probabilidad en el PDF |
| En la figura de la función de densidad de probabilidad normal, los valores del eje horizontal deben ser: μ-3σ, μ-2σ, μ-1σ, μ+1σ, μ+2σ y μ+3σ respectivamente. μ = media, σ = desviación estándar. |
A diferencia de la distribución normal, la PDF de Gumbel es a-simétrica y se inclina hacia la derecha.
CDF
En la FCD, la probabilidad de que un valor V sea menor que A se encuentra directamente como el valor de la FCD en A:
P ( V ≤ A ) = C D F ( A ) {\displaystyle P(V\leq A)=CDF(A)} 
.
| Ejemplo de probabilidad en la FCD |
| En la figura de la CDF de Gumbel, la curva roja indica que la probabilidad de que V sea inferior a 5 es de 0,9 (o del 90%), mientras que para la línea azul oscuro esta probabilidad es de 0,7 o del 70% |
La función de densidad de probabilidad (PDF) normal es simétrica.
Matemáticas
El FCD
La expresión matemática de la FCD es:
C D F ( A ) = e - e - ( A - μ ) / β , {\displaystyle CDF(A)=e^{-e^{-(A-\mu )/\beta },} 
donde μ es la moda (el valor donde la función de densidad de probabilidad alcanza su pico), e es una constante matemática, aproximadamente 2,718, y β es un valor relacionado con la desviación estándar (σ) :
β = σ 6 / π , {\displaystyle \beta =\sigma {\sqrt {6}}/\pi ,} 
donde π es el símbolo griego de Pi, cuyo valor se aproxima a 22/7 o 3,142, y el símbolo {\displaystyle {\sqrt {\}} 
representa la raíz cuadrada.
Modo y mediana
La moda μ se puede encontrar a partir de la mediana M, siendo el valor de A donde CDF(A)=0,5, y β:
μ = M + β ln ( ln 2 ) , {\displaystyle \mu =M+\beta \ln \left(\ln 2\right),} 
donde ln es el logaritmo natural.
Media
La media, E(x), dada por:
E ( x ) = μ + c β , {\desde el punto de vista del operador {E} (x)=mu +c\beta ,} (x)=\mu +c\beta ,} 
donde c {\displaystyle c}
= constante de Euler ≈ {\displaystyle \approx } 
0.5772.
Hay dos series de datos: la roja y la azul. Ambas tienen la misma media (promedio) : 100, pero el grupo azul tiene una desviación estándar mayor (SD=σ=50) que el grupo rojo (SD=σ=10).
Estimación
En una serie de datos, los parámetros moda (μ) y β pueden estimarse a partir de la media, la mediana y la desviación estándar. El cálculo de las tres últimas magnitudes se explica en las respectivas páginas de la Wiki. Luego, con la ayuda de las fórmulas dadas en la sección anterior, se pueden calcular los factores μ y β. De esta manera, se puede determinar la FCD de la distribución de Gumbel que pertenece a los datos y encontrar la probabilidad de los valores de datos interesantes.
Distribución acumulativa de Gumbel ajustada a las precipitaciones máximas de un día de octubre utilizando CumFreq
Aplicación
En hidrología, la distribución de Gumbel se utiliza para analizar variables como los valores máximos mensuales y anuales de las precipitaciones diarias y los volúmenes de descarga de los ríos, y también para describir las sequías.
La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Gumbel a las precipitaciones máximas de un día de octubre, mostrando también el cinturón de confianza del 90% basado en la distribución binomial.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es la distribución de Gumbel?
R: La distribución de Gumbel es una distribución de probabilidad de valores extremos.
P: ¿Para qué se utiliza la distribución de Gumbel?
R: La distribución de Gumbel se utiliza para modelar la distribución del máximo (o el mínimo) de un número de muestras de varias distribuciones.
P: ¿Cómo puede utilizarse la distribución de Gumbel para predecir catástrofes naturales?
R: La distribución de Gumbel es útil para predecir la probabilidad de que se produzca un terremoto extremo, una inundación u otra catástrofe natural.
P: ¿Cuál es un ejemplo de uso de la distribución de Gumbel para representar un acontecimiento pasado?
R: La distribución de Gumbel podría utilizarse para representar la distribución del nivel máximo de un río en un año concreto si existiera una lista de valores máximos de los últimos diez años.
P: ¿La distribución de Gumbel sólo es útil para predecir catástrofes naturales?
R: No, la distribución de Gumbel puede utilizarse para modelizar la distribución de valores extremos en cualquier situación.
P: ¿Puede utilizarse la distribución de Gumbel para modelizar el valor mínimo de un conjunto de muestras?
R: Sí, la distribución de Gumbel puede utilizarse para modelar la distribución del máximo o del mínimo de un conjunto de muestras.
P: ¿Es la distribución de Gumbel una distribución comúnmente utilizada en teoría de la probabilidad y estadística?
R: Sí, la distribución de Gumbel es una distribución de uso común en la teoría de la probabilidad y la estadística, especialmente para modelar valores extremos.
