En matemáticas, un magma es un tipo de estructura algebraica. Es un conjunto con una operación binaria sobre ese conjunto.

Una operación binaria funciona tomando dos elementos de un conjunto (que no tienen por qué ser diferentes) y devolviendo algún otro elemento de ese conjunto.

Si damos al conjunto una etiqueta (como X) y a la operación binaria una etiqueta (como -). Entonces damos al magma la etiqueta (X, -).

 

Definición formal y propiedad de clausura

Formalmente, un magma es un par (X, •) donde X es un conjunto y • es una aplicación •: X × X → X. La única condición exigida es la clausura: para todo a, b en X, el resultado a • b debe pertenecer a X.

Propiedades que no son obligatorias

Un magma no exige otras propiedades que aparecen en estructuras más fuertes:

  • Asociatividad: no se requiere que (a • b) • c = a • (b • c). Si la operación sí es asociativa, el magma es un semigrupo.
  • Elemento neutro: no es obligatorio que exista un elemento e tal que e • a = a • e = a para todo a. Si existe, el magma con identidad es un monoide.
  • Inversos: tampoco se exigen inversos. Si además de identidad y asociatividad todos los elementos tienen inverso, se obtiene un grupo.
  • Conmutatividad: puede o no cumplirse a • b = b • a.

Notación y ejemplo sencillo

Habitualmente se escribe (X, •) o (X, ⋆). Ejemplos inmediatos:

  • (ℤ, +): los enteros con la suma forman un magma; además es asociativo, tiene neutro (0) y cada elemento tiene inverso, por lo que es un grupo abeliano.
  • (ℤ, −): los enteros con la resta forman un magma pero no es asociativo; tampoco existe un neutro a dos lados, por tanto no es monoid ni grupo.
  • El producto vectorial en ℝ³ es una operación binaria cerrada (es decir, define un magma) que es bilineal y anticomutativa pero no asociativa.
  • El conjunto de matrices cuadradas con la multiplicación forma un magma (de hecho un monoide) porque la multiplicación está cerrada y es asociativa; además tiene identidad (la matriz identidad).

Ejemplo de magma finito no asociativo (tabla de Cayley)

Un magma finito se puede describir completamente mediante su tabla de Cayley. Por ejemplo, en S = {0,1} definimos la operación ∘ por la tabla:

  • 0 ∘ 0 = 0
  • 0 ∘ 1 = 1
  • 1 ∘ 0 = 0
  • 1 ∘ 1 = 0

Comprobamos no asociatividad: (1 ∘ 1) ∘ 1 = 0 ∘ 1 = 1, mientras que 1 ∘ (1 ∘ 1) = 1 ∘ 0 = 0, luego ∘ no es asociativa y (S, ∘) es un magma no asociativo.

Submagma, generadores y homomorfismos

  • Submagma: un subconjunto Y de X que está cerrado bajo la operación • es un submagma. Es decir, si a, b ∈ Y entonces a • b ∈ Y.
  • Magma generado: dado un subconjunto A ⊆ X, el submagma generado por A es el menor submagma que contiene a A (se obtiene tomando todas las combinaciones finitas mediante la operación).
  • Homomorfismo: una función f: (X, •) → (Y, ⋆) es homomorfismo de magmas si para todo a, b ∈ X se cumple f(a • b) = f(a) ⋆ f(b). Los homomorfismos preservan la estructura binaria.

Variantes y terminología

El término magma es la forma más general de estructura con una sola operación binaria. Históricamente se ha utilizado también la palabra groupoid para referirse a magmas, pero ese término es ambiguo hoy en día (en teoría de categorías un groupoid es otra cosa: una categoría donde todas las flechas son invertibles), por lo que suele evitarse su uso en ese sentido.

Construcciones importantes

  • Magma libre: el magma libre sobre un conjunto de generadores puede interpretarse como el conjunto de todas las expresiones formadas por esos generadores con una operación binaria sin imponer asociatividad; se representa con árboles binarios etiquetados.
  • Categoría de magmas: los magmas y sus homomorfismos forman una categoría; en ella aparecen productos, coproductos y otras construcciones categóricas relevantes para el álgebra universal.

Resumen

Un magma es la estructura algebraica más elemental definida por un conjunto con una operación binaria cerrada. No impone propiedades adicionales como asociatividad, existencia de identidad o inversos; imponerlas conduce a semigrupos, monoides o grupos. Los magmas son útiles como marco general para estudiar operaciones binarias y servir de punto de partida para estructuras algebraicas más ricas.