¿Qué es una operación binaria? Definición y ejemplos en matemáticas

Aprende qué es una operación binaria: definición, propiedades y ejemplos claros (suma, multiplicación, matrices, funciones y conjuntos) para comprender el concepto.

En matemáticas, una operación binaria, a menudo denotada por un símbolo como *, sobre un conjunto S es una regla que asigna a cada par ordenado (a, b) de elementos de S otro elemento de S. Formalmente, una operación binaria es una función

S × S → S

Es decir, partiendo de dos elementos de S se obtiene un tercer elemento que también pertenece a S. Esta propiedad se conoce como cierre del conjunto respecto a la operación.

Ejemplos básicos

Unos ejemplos elementales son:

• Si tomamos un par de números naturales y definimos la operación * como la suma, la suma de dos naturales es también un natural, por lo que la suma es una operación binaria sobre los naturales.
• La multiplicación entre números naturales es otra operación binaria: por ejemplo, 2 · 3 = 6, y 6 sigue siendo un número natural.
• La suma entre matrices (del mismo tamaño) es una operación binaria: la suma de dos matrices m×n es otra matriz m×n.
• La composición de funciones f ∘ g, definida cuando las funciones son composables, es una operación binaria sobre el conjunto de las funciones de un dominio fijado en sí mismo; la composición es asociativa.
• La unión y la intersección de conjuntos son también dos operaciones binarias diferentes sobre el conjunto de todos los conjuntos (o sobre subconjuntos de un conjunto fijo, es decir, sobre su conjunto potencia).

Propiedades importantes

Una operación binaria puede tener distintas propiedades algebraicas. Las más habituales son:

• Cierre: para todo a, b en S, a * b pertenece a S.
• Asociatividad: (a * b) * c = a * (b * c) para todo a, b, c en S. Ejemplo: suma y multiplicación de números son asociativas; la resta no lo es.
• Conmutatividad: a * b = b * a para todo a, b en S. Ejemplo: suma de números y unión de conjuntos son conmutativas; la multiplicación de matrices generalmente no lo es.
• Elemento neutro (identidad): existe e en S tal que e * a = a * e = a para todo a en S. Ejemplos: 0 es identidad para la suma de enteros, 1 para la multiplicación.
• Inversos: un elemento a tiene inverso a⁻¹ si a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e. En los enteros bajo suma, el inverso de a es −a; bajo multiplicación, sólo los ±1 tienen inverso en los enteros.
• Idempotencia: a * a = a para todo a en S. Ejemplo: unión e intersección de conjuntos son idempotentes.

Ejemplos que muestran diferencias

• Operación binaria pero no conmutativa: la multiplicación de matrices A·B ≠ B·A en general.
• Operación no asociativa: la resta en números: (5 − 3) − 2 ≠ 5 − (3 − 2).
• Operación no cerrada: la resta sobre los números naturales no es siempre cerrada (3 − 5 no es natural si definimos los naturales sin negativos).
• Operaciones lógicas: en álgebra booleana, las operaciones AND y OR son binarias sobre {0,1} y cumplen propiedades como asociatividad y distributividad.

Estructuras algebraicas definidas por operaciones binarias

Dependiendo de las propiedades que cumpla una operación binaria en un conjunto, se definen distintas estructuras:

• Magma: conjunto con una operación binaria (solo cierre).
• Semigrupo: magma con operación asociativa.
• Monoid: semigrupo con elemento neutro.
• Grupo: monoid donde todo elemento tiene inverso; si además la operación es conmutativa se habla de grupo abeliano.
• Anillo, cuerpo, álgebra: estructuras más ricas que combinan varias operaciones binarias (por ejemplo suma y multiplicación) con propiedades adicionales.

Cómo verificar si una operación es binaria

Para comprobar que una regla es una operación binaria sobre S hay que verificar:

• Que la regla toma siempre dos elementos de S como entrada (dominio: S × S).
• Que el resultado siempre pertenece a S (cierre).
• Opcionalmente, estudiar si además cumple asociatividad, conmutatividad, existencia de identidad e inversos, según lo que se requiera.

Notas finales y observaciones

Las operaciones binarias son un concepto muy general y aparecen en todas las ramas de las matemáticas—desde la aritmética elemental hasta el álgebra abstracta, el análisis funcional y la teoría de categorías. Identificar las propiedades de una operación ayuda a entender la estructura del conjunto sobre el que actúa y a clasificar objetos matemáticos en familias como grupos, anillos o espacios vectoriales.

Si quieres, puedo añadir ejemplos concretos con tablas de operación (como una tabla de Cayley) para una operación finita o mostrar demostraciones sencillas de propiedades (por ejemplo, por qué la composición de funciones es asociativa).

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es una operación binaria?

P: ¿Cómo se denota la operación binaria en matemáticas?

P: ¿Cuál es un ejemplo de operación binaria sobre números naturales?

P: ¿Cuál es el resultado de aplicar una operación binaria a un par de números naturales?

P: ¿Se pueden aplicar operaciones binarias a otros objetos matemáticos además de los números?

P: ¿Cuáles son algunos ejemplos de operaciones binarias sobre conjuntos?

P: ¿En qué conjunto se pueden realizar dos operaciones binarias diferentes?

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