Teorema del mono infinito: definición, probabilidades y el mito de Shakespeare
Teorema del mono infinito: descubre su definición, las probabilidades reales y por qué el mito de Shakespeare es más teoría que realidad.
El teorema del mono infinito dice que un mono que pulsa al azar las teclas de una máquina de escribir acabará escribiendo una de las obras de William Shakespeare. Cuando se habla del teorema del mono infinito, el "mono" no es siempre un mono real. En cambio, es un ejemplo de un dispositivo que produce letras al azar. Sin embargo, las posibilidades de que un mono escriba realmente un texto, como Hamlet de Shakespeare, son muy pequeñas.
¿Qué significa matemáticamente?
Formalmente, el teorema se plantea así: si se genera una secuencia infinita de caracteres de forma totalmente aleatoria e independiente (cada carácter elegido con la misma probabilidad de entre un alfabeto finito), entonces cualquier cadena finita de caracteres dada aparecerá con probabilidad 1 en algún lugar de esa secuencia, y de hecho aparecerá infinitas veces. En lenguaje probabilístico se dice que la aparición de cualquier cadena finita es “casi segura” (probabilidad 1).
Esto no contradice la intuición de que es extremadamente improbable que, por ejemplo, una secuencia infinita coincida exactamente con una obra entera de Shakespeare carácter por carácter: la probabilidad de que una secuencia aleatoria coincida exactamente con una secuencia infinita predeterminada es 0. La distinción clave es entre:
- Secuencia infinita exacta: coincidir carácter por carácter con una obra entera vista como una secuencia infinita —probabilidad 0.
- Aparición de una cadena finita: que un texto finito (por ejemplo, una frase o una obra concreta) aparezca en alguna posición dentro de una secuencia infinita —probabilidad 1.
Probabilidades y ejemplos numéricos
Si el alfabeto tiene k símbolos y queremos que aparezca exactamente una cadena determinada de longitud n en una posición dada, la probabilidad de que ese bloque coincida es k-n (es decir, 1 entre k elevado a n). Por ejemplo:
- Para una palabra corta, la probabilidad puede ser razonable: si el alfabeto tiene 27 símbolos (26 letras + espacio), la probabilidad de generar la palabra de 4 letras "hola" en una posición dada es (1/27)4 ≈ 1/531.441.
- Para una obra larga como Hamlet (que contiene decenas de miles de caracteres), la probabilidad de obtener exactamente esa secuencia en una posición dada es k-n, un número increíblemente pequeño. Si se usan 50 símbolos y n = 100.000 caracteres, la probabilidad por bloque sería (1/50)100000, lo que es prácticamente cero en términos prácticos (orden de magnitud: 10-hundreds of thousands).
El tiempo promedio de espera hasta que aparezca una cadena específica en una secuencia de caracteres aleatorios es del orden de kn bloques; aunque finito, crece exponencialmente con la longitud n, lo que explica por qué, en la práctica, es inviable esperar a que un mono genere una obra larga.
El mito de Shakespeare y la realidad física
En la cultura popular la imagen habitual es la de monos golpeando máquinas de escribir hasta producir obras maestras. Esa imagen es útil como metáfora, pero poco realista: para que un mono real (con habilidades limitadas, coordinación, fatiga, etc.) produzca una obra larga por azar se requerirían cantidades de tiempo y recursos físicas imposibles de alcanzar (mucho mayores que la edad del universo). Además, en la práctica los “monos” de muchos experimentos son simulaciones aleatorias realizadas por ordenador, no primates reales.
El teorema sirve más bien como herramienta conceptual en teoría de la probabilidad, teoría de la información y filosofía: muestra cómo el azar puro puede, en principio, producir cualquier obra finita, pero también ilustra la diferencia entre lo posible en teoría y lo plausible en la práctica.
Origen y aplicaciones
La idea aparece en trabajos de Émile Borel y otros matemáticos de principios del siglo XX y se utiliza para explicar conceptos como “casi seguro”, procesos ergódicos y ejemplos de sucesos que, aunque tienen probabilidad positiva o nula en matemáticas, difieren mucho en su relevancia práctica. También aparece en discusiones sobre creatividad, aleatoriedad y algoritmos de búsqueda exhaustiva.
En resumen: el teorema del mono infinito muestra que el azar infinito puede generar cualquier texto finito con probabilidad 1, pero las probabilidades para textos largos en marcos finitos son tan diminutas que, en la práctica, el mito del mono que escribe a Shakespeare es sólo una ilustración teórica, no una predicción realizable.
Un mono sentado en una silla ocupado en pulsar botones en su máquina de escribir
Prueba simplificada
Por ejemplo, supongamos que Shakespeare escribió "Wikipedia es el mejor sitio web del mundo". Si el mono no tiene caracteres extra como números (ejemplo: 4, 2) y símbolos (ejemplo: #, ~) entonces el mono sólo tendrá 53 cosas en su teclado para presionar. Estas son: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z, y la barra espaciadora.
Dado que sólo hay 53 botones que el mono puede pulsar, al final dará con el botón "W". Esto se debe a que el mono tiene un tiempo infinito para pulsar los botones y tiene una probabilidad de 1 entre 53 de pulsar el botón W. Entonces, probablemente pulsará otro botón y no escribirá la frase "Wikipedia es el mejor sitio web del mundo".
Pero, el mono tiene tiempo infinito. Eso significa que, en total, pulsará el botón "W" infinitas veces. Después de cada vez que el mono pulsa el botón "W", tiene una probabilidad de 1 entre 53 de pulsar el botón "i". Pero, como el botón "W" se pulsará infinitas veces, la palabra "Wi" aparecerá también infinitas veces. Esto se debe a que la probabilidad de que la "i" siga a la "W" es igual a la probabilidad de la "W", que es 1/53, multiplicada por la probabilidad de que la "i" la siga, que es 1/53. Es decir, 1/2809. Eso es realmente pequeño, pero como "W" e "i" aparecen una cantidad infinita de veces en las palabras del mono, se convierte en algo seguro. Lo que significa que hay un 100% de posibilidades de que, eventualmente, aparezca la palabra "Wi". Sin embargo, dado que tanto la "W" como la "i" serán pulsadas por el mono una cantidad infinita de veces, "Wi" también aparecerá realmente una cantidad infinita de veces.
Esto sigue y sigue. Al final, después de un tiempo aún más largo, aparecerá la palabra "Wik" porque "Wi" aparece infinitas veces y "k" tiene una probabilidad de 1 entre 53 de seguirla. Ahora bien, como "Wik" aparece infinitas veces, sabemos que "Wiki" acabará apareciendo también. No sólo eso, sabemos que "Wiki" aparecerá una cantidad infinita de veces.
Siguiendo esta lógica, veremos "Wikip" y "Wikipe" y "Wikiped" y "Wikipedi" hasta que veamos "Wikipedia es el mejor sitio web del mundo". Y no sólo eso, sino que lo veremos infinitas veces.
Como la frase "Wikipedia es la mejor página web del mundo" era una frase cualquiera, utilizando la prueba anterior, se puede saber que cualquier cosa aparece una cantidad infinita de veces. Por lo tanto, sabemos que todas las cosas de Shakespeare aparecerán. Incluso las cosas que tiró, incluso los pensamientos que tuvo por la noche, e incluso Hamlet.
Esto es como si se pudiera encontrar cualquier combinación de números (ejemplo:1829192) en el número pi ya que tiene una cantidad infinita de números aleatorios.
La prueba anterior era un ejemplo de prueba por inducción.
Véase también
- Ley de los números verdaderamente grandes
- Aleatoriedad
- Ley de los grandes números
- Probabilidad
- Infinito
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es el teorema del mono infinito?
R: El teorema del mono infinito afirma que un mono que pulsa al azar las teclas de una máquina de escribir acabará escribiendo una de las obras de William Shakespeare.
P: ¿El "mono" al que se refiere el teorema es siempre un mono real?
R: No, el "mono" no siempre es un mono real, puede ser un ejemplo de un dispositivo que produce letras al azar.
P: ¿Es probable que un mono escriba realmente un texto como Hamlet?
R: No, las probabilidades de que un mono escriba realmente un texto como Hamlet, de Shakespeare, son muy pequeñas.
P: ¿Qué demuestra el teorema del mono infinito?
R: El teorema del mono infinito demuestra el concepto de probabilidad y la idea de que, si se da el tiempo suficiente, incluso los sucesos más improbables pueden ocurrir.
P: ¿A quién se le ocurrió el teorema del mono infinito?
R: El teorema del mono infinito se ha atribuido a varias personas, pero sus orígenes no están claros.
P: ¿Se puede aplicar el teorema del mono infinito a otras obras literarias además de las de Shakespeare?
R: Sí, el teorema puede aplicarse a cualquier obra escrita, siempre que el mono disponga de tiempo infinito para teclear.
P: ¿Qué tipo de dispositivo podría utilizarse como "mono" en el teorema del mono infinito?
R: Cualquier dispositivo que genere letras aleatorias, como un programa informático o una máquina que simule la pulsación de botones en una máquina de escribir, puede utilizarse como "mono" en el teorema del mono infinito.
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