Inducción matemática | forma especial de demostrar una verdad matemática

La inducción matemática es una forma especial de demostrar una verdad matemática. Se puede utilizar para demostrar que algo es cierto para todos los números naturales (o todos los números positivos a partir de un punto). La idea es que si:

Algo es cierto para el primer caso (caso base);
Siempre que lo mismo sea cierto para un caso, lo será para el siguiente (caso inductivo),

entonces

Lo mismo ocurre en todos los casos por inducción.

En el cuidadoso lenguaje de las matemáticas, una prueba por inducción suele proceder como sigue:

Indique que la prueba será por inducción sobre n {\displaystyle n} . ( n {\displaystyle n} es la variable de inducción).
Demuestre que la afirmación es verdadera cuando n {\displaystyle n} es 1.
Supongamos que el enunciado es verdadero para cualquier número natural n {\displaystyle n} . (Esto se llama paso de inducción).

Demuestre entonces que la afirmación es cierta para el siguiente número, n + 1 {\displaystyle n+1} $n+1$ .

Porque es cierto para 1, entonces es cierto para 1+1 (=2, por el paso de inducción), entonces es cierto para 2+1 (=3), entonces es cierto para 3+1 (=4), y así sucesivamente.

Ejemplos de pruebas por inducción

Suma de los primeros n números naturales

Demuestre que para todos los números naturales n:

1 + 2 + 3 + . . . . + ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle 1+2+3+....+(n-1)+n={tfrac {1}{2}}n(n+1)} $1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)$

Prueba:

En primer lugar, la declaración puede escribirse como

2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)} $2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)$ (para todos los números naturales n)

Por inducción en n,

Primero, para n=1:

2 ∑ k = 1 1 k = 2 ( 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)} $2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)$ ,

así que esto es cierto.

A continuación, suponga que para algún n=n₀ la afirmación es verdadera. Es decir,:

2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)} $2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)$

Entonces para n=n₀ +1:

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k} $2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k$

puede reescribirse como

2 ( ∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)} $2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)$

Como 2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),} $2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),$

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {{displaystyle 2{sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)} $2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)$

Por lo tanto, la prueba se completa por inducción.

La suma de los ángulos interiores de un polígono

La inducción matemática suele plantearse con el valor inicial 0 (en lugar de 1). De hecho, funcionará igual de bien con una variedad de valores de partida. He aquí un ejemplo cuando el valor de partida es 3: "La suma de los ángulos interiores de un polígono de n {\displaystyle n} -sided es ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} $(n-2)180$ grados".

El valor inicial de partida es 3, y los ángulos interiores de un triángulo es ( 3 - 2 ) 180 {\displaystyle (3-2)180} $(3-2)180$ grados. Supongamos que los ángulos interiores de un polígono de n {\displaystyle n} -sided polygon es ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} $(n-2)180$ grados. Si se añade un triángulo, la figura se convierte en un polígono de n + 1 {\displaystyle n+1} $n+1$ y eso aumenta el número de ángulos en 180 grados ( n - 2 ) 180 + 180 = ( n + 1 - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180} $(n-2)180+180=(n+1-2)180$ grados. Dado que se manejan tanto el caso base como el caso inductivo, la demostración está ahora completa.

Hay un gran número de objetos matemáticos para los que funcionan las pruebas por inducción matemática. El término técnico es conjunto bien ordenado.

Definición inductiva

La misma idea puede funcionar para definir un conjunto de objetos, así como para demostrar afirmaciones sobre ese conjunto de objetos.

Por ejemplo, podemos definir n {\displaystyle n} prima de grado como sigue:

Un primo de 1 {\displaystyle 1} $1$ grado es el hijo de un hermano del padre.
Un n + 1 {\displaystyle n+1} $n+1$ primo de grado es el hijo de un n {\displaystyle n} primo de grado.

Existe un conjunto de axiomas para la aritmética de los números naturales que se basa en la inducción matemática. Se denominan "Axiomas de Peano". Los símbolos indefinidos son | y =. Los axiomas son

| es un número natural.
Si n {\displaystyle n} es un número natural, entonces n | {\displaystyle n|} $n|$ es un número natural.
Si n | = m | {\displaystyle n|=m|} $n|=m|$ entonces n = m {\displaystyle n=m} $n=m$ .

Entonces se pueden definir las operaciones de adición y multiplicación, etc., por inducción matemática. Por ejemplo:

m + | = m | {\desde el estilo m+|=m|} $m+|=m|$
m + n | = ( m + n ) | {\displaystyle m+n|=(m+n)|} $m+n|=(m+n)|$

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Prueba por contradicción

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la inducción matemática?

R: La inducción matemática es una forma especial de demostrar una verdad matemática que puede utilizarse para demostrar que algo es cierto para todos los números naturales o números positivos a partir de un determinado punto.

P: ¿Cómo procede la prueba por inducción?

R: La prueba por inducción procede típicamente afirmando que la prueba se hará sobre n, mostrando que el enunciado es verdadero cuando n es 1, asumiendo que el enunciado es verdadero para cualquier número natural n, y luego mostrando que es verdadero para el siguiente número (n+1).

P: ¿Qué significa asumir algo en un paso inductivo?

R: Asumir algo en un paso inductivo significa aceptarlo como verdadero sin aportar pruebas o evidencias. Sirve como punto de partida para una investigación posterior.

P: ¿Qué tipo de números se utilizan en la inducción matemática?

R: La inducción matemática suele utilizar números naturales o números positivos a partir de cierto punto.

P: ¿Cómo se demuestra que algo es cierto para el siguiente número (n+1)?

R: Para demostrar que algo es cierto para el siguiente número (n+1), primero debe demostrar que es cierto cuando n=1, y luego utilizar su suposición del paso inductivo para demostrar que también es cierto para n+1.