Ley de los grandes números
La ley de los grandes números (LLN) es un teorema de la estadística. Considere un proceso en el que se producen resultados aleatorios. Por ejemplo, una variable aleatoria se observa repetidamente. Entonces, la media de los valores observados será estable, a largo plazo. Esto significa que, a largo plazo, la media de los valores observados se acercará cada vez más al valor esperado.
Al lanzar los dados, los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son resultados posibles. Todos son igualmente probables. La media poblacional (o "valor esperado") de los resultados es:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
El siguiente gráfico muestra los resultados de un experimento de lanzamientos de un dado. En este experimento se puede ver que la media de las tiradas del dado varía mucho al principio. Tal y como predice el LLN, la media se estabiliza en torno al valor esperado de 3,5 a medida que el número de observaciones se hace grande.
Historia
Jacob Bernoulli describió por primera vez la LLN. Según él, era tan simple que hasta el hombre más estúpido sabe instintivamente que es cierto. A pesar de ello, tardó más de 20 años en desarrollar una buena prueba matemática. Una vez que la encontró, publicó la prueba en Ars Conjectandi (El arte de conjeturar) en 1713. Lo llamó "Teorema de Oro". En 1835, S.D.Poisson lo describió con el nombre de "La ley de los grandes números". A partir de entonces, se conoció con ambos nombres, pero la "Ley de los grandes números" es la más utilizada.
Otros matemáticos también contribuyeron a mejorar la ley. Algunos de ellos fueron Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli y Kolmogorov. Tras estos estudios, ahora existen dos formas diferentes de la ley: Una se llama ley "débil" y la otra ley "fuerte". Estas formas no describen leyes diferentes. Tienen formas diferentes de describir la convergencia de la probabilidad observada o medida a la probabilidad real. La forma fuerte de la ley implica la débil.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es la ley de los grandes números?
R: La ley de los grandes números es un teorema estadístico que afirma que si se observa repetidamente un proceso aleatorio, la media de los valores observados será estable a largo plazo.
P: ¿Qué significa la ley de los grandes números?
R: La ley de los grandes números significa que a medida que aumenta el número de observaciones, la media de los valores observados se acercará cada vez más al valor esperado.
P: ¿Qué es un valor esperado?
R: Un valor esperado es la media poblacional de los resultados de un proceso aleatorio.
P: ¿Cuál es el valor esperado de lanzar un dado?
R: El valor esperado de lanzar un dado es la suma de los resultados posibles dividida por el número de resultados: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.
P: ¿Qué muestra el gráfico del texto en relación con la ley de los grandes números?
R: El gráfico muestra que la media de las tiradas varía mucho al principio, pero como predice la LLN, la media se estabiliza en torno al valor esperado de 3,5 a medida que el número de observaciones se hace grande.
P: ¿Cómo se aplica la ley de los grandes números al lanzamiento de dados?
R: La ley de los grandes números se aplica al lanzamiento de dados porque a medida que aumenta el número de lanzamientos, la media de los lanzamientos se acercará cada vez más al valor esperado de 3,5.
P: ¿Por qué es importante la ley de los grandes números en estadística?
R: La ley de los grandes números es importante en estadística porque proporciona una base teórica para la idea de que los datos tienden a promediar a lo largo de un gran número de observaciones. Es el fundamento de muchos métodos estadísticos, como los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis.
