Paradoja del Gran Hotel de Hilbert: qué es y cómo explica el infinito
Descubre la Paradoja del Gran Hotel de Hilbert: qué es, cómo revela la naturaleza del infinito y ejemplos que desafían la intuición matemática.
La paradoja del Gran Hotel de Hilbert es una paradoja matemática que lleva el nombre del matemático alemán David Hilbert. Hilbert la utilizó como ejemplo para mostrar cómo el infinito no actúa de la misma manera que los números regulares.
La paradoja describe un hotel con un número infinito numerable de habitaciones (habitaciones 1, 2, 3, ...), todas ocupadas, y plantea preguntas sobre qué ocurre cuando llegan nuevos huéspedes. Intuitivamente parece imposible admitir más personas si todas las habitaciones ya están ocupadas, pero matemáticamente hay formas de reorganizar a los huéspedes que permiten alojar a más (incluso a una cantidad infinita adicional).
Descripción básica y ejemplo simple
Supongamos que al hotel llega un nuevo huésped y todas las habitaciones están ocupadas. El gerente pide al huésped de la habitación n que se mude a la habitación n+1 (es decir, el de la 1 pasa a la 2, el de la 2 pasa a la 3, y así sucesivamente). De este modo la habitación 1 queda libre para el nuevo huésped. Este procedimiento muestra que un conjunto infinito numerable puede ser puesto en correspondencia biunívoca con una parte propia de sí mismo.
Admitir infinitos huéspedes adicionales
Si llega un autobús con una cantidad infinita de nuevos pasajeros, se puede aplicar otra reubicación: pedir al huésped que ocupa la habitación n que pase a la habitación 2n (de modo que la 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ...). Así quedan libres todas las habitaciones impares (1, 3, 5, ...), suficientes para alojar a todos los nuevos pasajeros. Con estrategias análogas se puede acomodar cualquier número numerable infinito de nuevos huéspedes.
Qué nos enseña sobre el infinito
- Cardinalidad y conjuntos numerables: el hotel ilustra que el conjunto de los números naturales es equipotente (misma cardinalidad) que una de sus partes propias; esto es característico del infinito numerable.
- Biyectividad: las reubicaciones descritas corresponden a funciones biyectivas entre el conjunto de huéspedes original y otro conjunto (por ejemplo, n ↦ n+1 o n ↦ 2n). Estas funciones muestran que ambos conjuntos tienen la misma «longitud» en sentido de cardinalidad.
- Distinción entre infinito actual y finito: acciones imposibles en conjuntos finitos (como emparejar todos los elementos de un conjunto con elementos de una de sus partes propias) sí son posibles en conjuntos infinitos.
Limitaciones y aclaraciones
- No es una contradicción lógica: la paradoja no contradice las reglas de la matemática; más bien, destaca propiedades contraintuitivas del infinito.
- Imposibilidad física: aunque coherente en teoría de conjuntos, en la práctica un hotel así es imposible debido a limitaciones físicas: espacio, tiempo, energía y la imposibilidad de realizar infinitas operaciones en un tiempo finito.
- No todos los infinitos son iguales: hay distintos tamaños de infinito. Por ejemplo, el conjunto de los números reales es no numerable y tiene una cardinalidad mayor que la de los naturales; no existe una reubicación sencilla equivalente que haga que un conjunto real se empareje con una de sus partes de la misma forma.
Implicaciones filosóficas y pedagógicas
El Gran Hotel de Hilbert se usa con frecuencia en clases y divulgación para:
- Mostrar la diferencia entre intuición finita y comportamiento infinito.
- Introducir conceptos de teoría de conjuntos, cardinalidad y funciones biyectivas.
- Estimular la reflexión filosófica sobre el infinito actual versus el potencial y sobre cómo la matemática formaliza ideas que resultan paradójicas a la intuición cotidiana.
En resumen, la paradoja del Gran Hotel de Hilbert no pretende describir una situación real sino ilustrar propiedades formales del infinito numerable: permite entender por qué en matemáticas el infinito se comporta de modo distinto a los conjuntos finitos y cómo las nociones de tamaño y correspondencia se generalizan más allá de la experiencia cotidiana.
La paradoja
Los hoteles normales tienen un número determinado de habitaciones. Este número es finito. Una vez que todas las habitaciones han sido asignadas a un huésped, cualquier nuevo huésped que quiera una habitación y aún no la tenga no podrá ser atendido; en otras palabras, el hotel está totalmente reservado.
Supongamos ahora que hay un hotel que tiene un número infinito de habitaciones. Por comodidad, las habitaciones tienen números, la primera habitación tiene el número 1, la segunda tiene el número 2, y así sucesivamente. Si todas las habitaciones se llenan, podría parecer que no se pueden admitir más huéspedes, como en un hotel con un número finito de habitaciones. Sin embargo, esto es erróneo. Se puede habilitar una habitación para otro huésped. Esto puede hacerse trasladando al huésped de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 3, y así sucesivamente. En el caso general, el huésped de la habitación n se trasladará a la habitación n+1. Una vez que todos los huéspedes se han trasladado, la habitación 1 queda vacía y el nuevo huésped tiene ahora una habitación que ocupar. Esto muestra cómo podemos encontrar una habitación para un nuevo huésped incluso si el hotel ya está lleno, algo que no podría ocurrir en ningún hotel con un número finito de habitaciones.
En caso de infinitos nuevos invitados
Otra cosa que se puede hacer con este hotel imaginario es duplicar el número de personas que hay dentro, de nuevo cuando todas las habitaciones ya están llenas. Esto se hace pidiendo a cada huésped que multiplique su número de habitación por dos y se traslade a esa habitación. (Si su número de habitación anterior era n, esta vez se trasladaría a la habitación número 2n). Así, el huésped de la habitación 1 pasaría a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6, el de la 4 a la 8, y así sucesivamente. Al terminar, nos encontramos con que todas las habitaciones con números impares están vacías. Entonces podemos poner un número infinito de huéspedes en estas habitaciones vacías. Ahora el número de huéspedes del hotel se ha duplicado sin que el hotel sea más grande.
Si vienen infinitos grupos de infinitos invitados
El huésped de la habitación 11 pasaría a la habitación 101. La segunda persona del grupo 5 (Dirección 5-2) iría a la habitación 25.
En realidad, no se trata de una paradoja, sino sólo de una contraintuición. En un hotel normal, con un número finito de habitaciones, el número de habitaciones impares, es menor que el número total de habitaciones. En el Hotel de Hilbert esto no parece ser así.
En el caso de vehículos infinitos de grupos infinitos de invitados infinitos
El invitado 1 del grupo 2 del vehículo 1 (1-2-1) va a la habitación 121.
Más capas del infinito
Infinitos portaaviones de los mismos infinitos vehículos
La dirección 4-7-7-4 va a la habitación 4774.
Infinitas naves espaciales de los mismos infinitos portaaviones.
La dirección 0-1 (habitante del hotel) se queda porque la 1-0-0-0-1 se traslada a la habitación 10.001.
y así sucesivamente.
Infinitas capas de anidación
Cada cápsula tiene capacidad para 10 personas.
Cada megapod tiene capacidad para 10 vainas. (100 personas)
Cada supermegapod tiene capacidad para 10 megapods. (1.000 personas)
Cada superdupermegápodo contiene 10 supermegápodos.
Cada ultrasuperdupermegapod tiene capacidad para 10 superdupermegapod.
Cada ultrasuperdupermegápodo contiene 10 ultrasuperdupermegápodo. (1.000.000 de personas)
Y así sucesivamente. Esto supone que nunca hay una capa infinita. (La nave principal)
Análisis
La paradoja de Hilbert es una paradoja verídica: conduce a un resultado contraintuitivo que es demostrablemente verdadero. Las afirmaciones "hay un huésped para cada habitación" y "no se pueden acomodar más huéspedes" no son equivalentes cuando hay infinitas habitaciones. Una situación análoga se presenta en la prueba diagonal de Cantor.
A primera vista, esta situación podría parecer contraria a la intuición. Las propiedades de las "colecciones infinitas de cosas" son muy diferentes de las de las "colecciones finitas de cosas". La paradoja del Gran Hotel de Hilbert puede entenderse utilizando la teoría de los números transfinitos de Cantor. En un hotel ordinario (finito) con más de una habitación, el número de habitaciones impares es obviamente menor que el número total de habitaciones. Sin embargo, en el bien llamado Gran Hotel de Hilbert, la cantidad de habitaciones impares no es menor que el "número" total de habitaciones. En términos matemáticos, la cardinalidad del subconjunto que contiene las habitaciones impares es la misma que la del conjunto de todas las habitaciones. De hecho, los conjuntos infinitos se caracterizan por tener subconjuntos propios de la misma cardinalidad. Para los conjuntos contables (conjuntos con la misma cardinalidad que los números naturales) esta cardinalidad es ℵ 0 {\displaystyle \_aleph _{0}} 
.
Dicho de otro modo, para cualquier conjunto contablemente infinito, existe una función biyectiva que asigna el conjunto contablemente infinito al conjunto de los números naturales, incluso si el conjunto contablemente infinito contiene los números naturales. Por ejemplo, el conjunto de los números racionales -los números que pueden escribirse como cociente de enteros- contiene los números naturales como subconjunto, pero no es mayor que el conjunto de los números naturales, ya que los racionales son contables: existe una biyección de los naturales a los racionales.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es la paradoja de Hilbert del Gran Hotel?
R: La paradoja de Hilbert del Gran Hotel es una paradoja matemática que debe su nombre al matemático alemán David Hilbert.
P: ¿Cuál era el propósito de Hilbert al utilizar la paradoja del Gran Hotel?
R: David Hilbert utilizó la paradoja de Hilbert del Gran Hotel como ejemplo para mostrar cómo el infinito no actúa de la misma manera que los números regulares.
P: ¿Quién es David Hilbert?
R: David Hilbert fue un matemático alemán.
P: ¿Actúa el infinito como los números normales?
R: El infinito no actúa como los números normales.
P: ¿En qué consiste la paradoja de Hilbert del Gran Hotel?
R: La paradoja del Gran Hotel de Hilbert consiste en que un hotel con un número infinito de habitaciones puede alojar a más huéspedes aunque todas las habitaciones estén ocupadas.
P: ¿Qué significa la paradoja de Hilbert del Gran Hotel?
R: La importancia de la paradoja de Hilbert del Gran Hotel es que pone de manifiesto las diferencias entre conjuntos finitos e infinitos y las peculiaridades del comportamiento del infinito.
P: ¿Qué opina el mundo de las matemáticas sobre la paradoja de Hilbert del Gran Hotel?
R: La paradoja de Hilbert del Gran Hotel es ampliamente conocida y respetada en el mundo matemático como un ejemplo significativo de la naturaleza paradójica del infinito.
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