El hotel infinito de Hilbert

La paradoja

Los hoteles normales tienen un número determinado de habitaciones. Este número es finito. Una vez que todas las habitaciones han sido asignadas a un huésped, cualquier nuevo huésped que quiera una habitación y aún no la tenga no podrá ser atendido; en otras palabras, el hotel está totalmente reservado.

Supongamos ahora que hay un hotel que tiene un número infinito de habitaciones. Por comodidad, las habitaciones tienen números, la primera habitación tiene el número 1, la segunda tiene el número 2, y así sucesivamente. Si todas las habitaciones se llenan, podría parecer que no se pueden admitir más huéspedes, como en un hotel con un número finito de habitaciones. Sin embargo, esto es erróneo. Se puede habilitar una habitación para otro huésped. Esto puede hacerse trasladando al huésped de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 3, y así sucesivamente. En el caso general, el huésped de la habitación n se trasladará a la habitación n+1. Una vez que todos los huéspedes se han trasladado, la habitación 1 queda vacía y el nuevo huésped tiene ahora una habitación que ocupar. Esto muestra cómo podemos encontrar una habitación para un nuevo huésped incluso si el hotel ya está lleno, algo que no podría ocurrir en ningún hotel con un número finito de habitaciones.

En caso de infinitos nuevos invitados

Otra cosa que se puede hacer con este hotel imaginario es duplicar el número de personas que hay dentro, de nuevo cuando todas las habitaciones ya están llenas. Esto se hace pidiendo a cada huésped que multiplique su número de habitación por dos y se traslade a esa habitación. (Si su número de habitación anterior era n, esta vez se trasladaría a la habitación número 2n). Así, el huésped de la habitación 1 pasaría a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6, el de la 4 a la 8, y así sucesivamente. Al terminar, nos encontramos con que todas las habitaciones con números impares están vacías. Entonces podemos poner un número infinito de huéspedes en estas habitaciones vacías. Ahora el número de huéspedes del hotel se ha duplicado sin que el hotel sea más grande.

Si vienen infinitos grupos de infinitos invitados

El huésped de la habitación 11 pasaría a la habitación 101. La segunda persona del grupo 5 (Dirección 5-2) iría a la habitación 25.

En realidad, no se trata de una paradoja, sino sólo de una contraintuición. En un hotel normal, con un número finito de habitaciones, el número de habitaciones impares, es menor que el número total de habitaciones. En el Hotel de Hilbert esto no parece ser así.

En el caso de vehículos infinitos de grupos infinitos de invitados infinitos

El invitado 1 del grupo 2 del vehículo 1 (1-2-1) va a la habitación 121.

Más capas del infinito

Infinitos portaaviones de los mismos infinitos vehículos

La dirección 4-7-7-4 va a la habitación 4774.

Infinitas naves espaciales de los mismos infinitos portaaviones.

La dirección 0-1 (habitante del hotel) se queda porque la 1-0-0-0-1 se traslada a la habitación 10.001.

y así sucesivamente.

Infinitas capas de anidación

Cada cápsula tiene capacidad para 10 personas.

Cada megapod tiene capacidad para 10 vainas. (100 personas)

Cada supermegapod tiene capacidad para 10 megapods. (1.000 personas)

Cada superdupermegápodo contiene 10 supermegápodos.

Cada ultrasuperdupermegapod tiene capacidad para 10 superdupermegapod.

Cada ultrasuperdupermegápodo contiene 10 ultrasuperdupermegápodo. (1.000.000 de personas)

Y así sucesivamente. Esto supone que nunca hay una capa infinita. (La nave principal)

Análisis

La paradoja de Hilbert es una paradoja verídica: conduce a un resultado contraintuitivo que es demostrablemente verdadero. Las afirmaciones "hay un huésped para cada habitación" y "no se pueden acomodar más huéspedes" no son equivalentes cuando hay infinitas habitaciones. Una situación análoga se presenta en la prueba diagonal de Cantor.

A primera vista, esta situación podría parecer contraria a la intuición. Las propiedades de las "colecciones infinitas de cosas" son muy diferentes de las de las "colecciones finitas de cosas". La paradoja del Gran Hotel de Hilbert puede entenderse utilizando la teoría de los números transfinitos de Cantor. En un hotel ordinario (finito) con más de una habitación, el número de habitaciones impares es obviamente menor que el número total de habitaciones. Sin embargo, en el bien llamado Gran Hotel de Hilbert, la cantidad de habitaciones impares no es menor que el "número" total de habitaciones. En términos matemáticos, la cardinalidad del subconjunto que contiene las habitaciones impares es la misma que la del conjunto de todas las habitaciones. De hecho, los conjuntos infinitos se caracterizan por tener subconjuntos propios de la misma cardinalidad. Para los conjuntos contables (conjuntos con la misma cardinalidad que los números naturales) esta cardinalidad es ℵ 0 {\displaystyle \_aleph _{0}} .

Dicho de otro modo, para cualquier conjunto contablemente infinito, existe una función biyectiva que asigna el conjunto contablemente infinito al conjunto de los números naturales, incluso si el conjunto contablemente infinito contiene los números naturales. Por ejemplo, el conjunto de los números racionales -los números que pueden escribirse como cociente de enteros- contiene los números naturales como subconjunto, pero no es mayor que el conjunto de los números naturales, ya que los racionales son contables: existe una biyección de los naturales a los racionales.