Argumento diagonal de Cantor: qué es y cómo compara cardinalidades
Descubre el argumento diagonal de Cantor: método histórico para comparar cardinalidades de conjuntos infinitos y entender por qué existen distintos tamaños de infinito.
El argumento diagonal de Cantor es un método matemático inventado por Georg Cantor que se usa para comparar cardinalidades de conjuntos, y en particular para demostrar que no todos los infinitos tienen la misma tamaño. Cantor publicó trabajos relevantes en 1877, 1891 y 1899; su formulación clásica del argumento diagonal apareció en 1890 en la revista de la Sociedad Matemática Alemana (Deutsche Mathematiker-Vereinigung). Según Cantor, dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si es posible asociar un elemento del segundo conjunto a cada elemento del primer conjunto, y asociar un elemento del primer conjunto a cada elemento del segundo conjunto (es decir, existe una biyección entre ellos). Esta definición funciona bien para conjuntos con un número finito de elementos y también para algunos infinitos; sin embargo, el argumento diagonal muestra que hay infinitos de diferentes tamaños y que esa intuición debe afinarse.
Idea básica
El argumento diagonal es una construcción que, a partir de una lista supuesta que contiene todos los elementos de cierto conjunto, produce un elemento que no está en la lista. Esa contradicción prueba que la lista completa no existe, es decir, que el conjunto no es numerable (no tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales).
Cardinalidades habituales y ejemplos
- Numerable (o contable): un conjunto es numerable si se puede poner en correspondencia uno a uno con los naturales. El conjunto de los números naturales, enteros y racionales es numerable. A la cardinalidad de un conjunto numerable infinito se le suele llamar aleph-cero (ℵ0).
- No numerable (o incontable): el ejemplo clásico es el conjunto de los números reales. Su cardinalidad es mayor que la de los naturales y se denomina continuo (c).
Ejemplo: los racionales son numerables
Aunque parezca que hay “muchísimos” racionales, se puede enumerar todos los números racionales positivos p/q recorriendo la tabla de pares (p,q) en forma diagonal (por ejemplo, por sumas p+q crecientes) y evitando repeticiones. Con un pequeño truco también se incluye 0 y los racionales negativos. Por eso los racionales son numerables: existe una biyección con los naturales.
Demostración de la no numerabilidad de los reales — argumento diagonal clásico
Una versión habitual del argumento muestra que no existe una lista que contenga todos los números reales del intervalo (0,1). Supongamos, para obtener una contradicción, que sí existe una lista que agrupa todos esos números:
r1 = 0.d11 d12 d13 d14 ...
r2 = 0.d21 d22 d23 d24 ...
r3 = 0.d31 d32 d33 d34 ...
donde dij es la j-ésima cifra decimal del número ri.
Construimos ahora un nuevo número r = 0.c1 c2 c3 c4 ... de la siguiente manera: para cada n, elegimos cn distinto de dnn (la cifra en la diagonal). Por ejemplo, si dnn ≠ 1 elegimos cn = 1; si dnn = 1 elegimos cn = 2. De este modo r difiere de r1 en la primera cifra, de r2 en la segunda cifra, de r3 en la tercera, y así sucesivamente. Por tanto r no puede aparecer en la lista, contradicción. Concluimos que no existe una lista que contenga todos los reales del intervalo (0,1); el conjunto de los reales es, por tanto, no numerable.
Nota sobre representaciones decimales: hay números con dos representaciones decimales (por ejemplo 0.24999... = 0.25). Para evitar este problema se puede forzar la construcción a evitar construir un número que termine en repetición de 9, eligiendo por ejemplo cn = 1 si dnn ≠ 1, y cn = 2 si dnn = 1. Así nunca obtenemos la representación con infinitos 9 y la construcción es válida.
Argumento diagonal en la forma de conjuntos (teorema de Cantor)
Cantor dio también una forma más general del argumento que prueba que ningún conjunto A puede estar en correspondencia biunívoca con su conjunto de partes P(A) (el conjunto de todos los subconjuntos de A). La demostración es la siguiente:
- Supongamos que existe una función f: A → P(A) que es sobreyectiva (cada subconjunto de A es f(a) para algún a).
- Consideremos el subconjunto D = {x ∈ A : x ∉ f(x)}. Es decir, D contiene exactamente los elementos de A que no pertenecen a su propia imagen bajo f.
- Si existiera a0 ∈ A tal que f(a0) = D, entonces preguntaríamos si a0 ∈ D. Si a0 ∈ D entonces por definición de D debe cumplirse a0 ∉ f(a0) = D, contradicción. Si a0 ∉ D entonces por definición debe cumplirse a0 ∈ f(a0) = D, otra contradicción.
- Por tanto no existe a0 con f(a0) = D y la función f no puede ser sobreyectiva. En consecuencia |P(A)| > |A|: el conjunto de partes de A tiene cardinal estrictamente mayor que A.
Consecuencias e implicaciones
- Existe una jerarquía de infinitos: A, P(A), P(P(A)), ... producen tamaños cada vez mayores. El argumento diagonal es la herramienta esencial para demostrar esto.
- La cardinalidad de los naturales (y de los enteros y racionales) es ℵ0; la de los reales es c y satisface c = |P(N)| (el conjunto de partes de los naturales tiene la cardinalidad del continuo).
- La famosa Hipótesis del Continuo pregunta si existe alguna cardinalidad intermedia entre ℵ0 y c. Esta hipótesis es independiente del axioma de Zermelo–Fraenkel con el Axioma de Elección (ZFC): ni puede demostrarse ni refutarse a partir de ZFC.
Resumen
El argumento diagonal de Cantor es una construcción muy simple y poderosa que permite:
- probar que algunos conjuntos infinitos (como los reales) no son numerables;
- demostrar que el conjunto de partes de cualquier conjunto tiene cardinal mayor que el conjunto original;
- establecer la existencia de distintos “tamaños” de infinito y abrir la puerta a una teoría fina de cardinalidades.
El primer argumento diagonal de Cantor
El ejemplo siguiente utiliza dos de los conjuntos infinitos más sencillos, el de los números naturales y el de las fracciones positivas. La idea es demostrar que ambos conjuntos, N {\displaystyle \mathbb {N} } 
y Q + {\displaystyle \mathbb {Q^{+}} } 
tienen la misma cardinalidad.
En primer lugar, las fracciones se alinean en una matriz, como se indica a continuación:
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 ⋯ 2 1 2 2 2 4 2 5 ⋯ 3 1 3 2 3 3 3 3 5 ⋯ 4 1 4 2 4 3 4 4 5 ⋯ 5 1 5 2 5 3 4 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}{tfrac {1}{1}&&{tfrac {1}{2}&&{tfrac {1}{3}&{tfrac {1}{4}&&{tfrac {1}{5}}&&{cdots \\\&&&&&&&&&\\\ {tfrac {2}{1}&&{tfrac {2}{2}&&{\tfrac {2}{3}&&{\tfrac {2}{4}&&{\tfrac {2}{5}&\cdots \&&&&&&&&&{\tfrac {3}{1}&{tfrac {3}{2}&&{tfrac {3}{3}&{tfrac {3}{4}&{tfrac {3}{5}&{cdots \&&&&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}&&{\tfrac {4}{2}}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \&&&&&&&&&\ {\tfrac {5}{1}&&{tfrac {5}{2}&&{tfrac {5}{3}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}} 
A continuación, se cuentan los números, como se indica. Las fracciones que se pueden simplificar se omiten:
1 1 ( 1 ) → 1 2 ( 2 ) 1 3 ( 5 ) → 1 4 ( 6 ) 1 5 ( 11 ) → ↙ ↙ 2 1 ( 3 ) 2 2 ( ⋅ ) 2 3 ( 7 ) 2 4 ( ⋅ ) 2 5 ⋯ ↓ ↙ 3 1 ( 4 ) 3 2 ( 8 ) 3 3 ( ⋅ ) 3 4 3 5 ⋯ ↙ 4 1 ( 9 ) 4 2 ( ⋅ ) 4 3 4 4 5 ⋯ ↓ 5 1 ( 10 ) 5 2 5 3 5 4 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{lclclclc}{tfrac {1}{1}{{color azul noche}} y {{tfrac}{1}{2}{año}} {{color azul}(2)} y {{tfrac}{1}{3}{año}{año}(5)}{...y el color azul (6) y el color azul (11)...{{color azul noche}} {{flecha derecha}} {{color azul noche}} {{flecha verde}} {{color azul noche}} {{flecha verde}} {{color azul noche}} {{flecha verde}}}{y el color azul de medianoche...{{tfrac {2}} {{color Azul}}(\cdot )}&{tfrac {2}3} {{color Azul}(7)}&{tfrac {2}4} {{color Azul}(\cdot )}&&{tfrac {2}{5}&{cdots} {{color azul noche}{downarrow }&{color azul noche}{nearrow }&{{color azul noche}} {{flecha}} y {{color azul noche}} {{flecha}} &&&& {{tfrac {3}{1}} {{color azul}(4)}&&{{tfrac {3}{2} {{color azul}(8)}&{tfrac {3}{3}{color azul}(\cdot )}&{tfrac {3}{4}&&{{tfrac}{3}{5}&{cdots}&{color azul noche}{flecha}&{color azul noche}{flecha}}&&&&&&\\{{tfrac}} {4}{1} {{color azul}}(9)}&{tfrac} {4}{2}{{color azul}(\cdot )}&&{tfrac} {4}{3}&&{{tfrac {4}}&&{tfrac {4}{5}}&{cdots} {{color azul noche}}&{color azul noche}}&&&&&&&& {{tfrac {5}} {{color azul}(10)}&&{tfrac {5}{2}&&{tfrac {5}{3}&&{tfrac {5}{4}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}} 
Así se cuentan las fracciones:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 2 2 3 1 3 1 4 2 3 2 4 5 1 5 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccc}{color {Azul}1}&{color {Azul}2}& {color {Azul}3}& {color {Azul}4}& {color {Azul}5}&{color {Azul}6}& {color {Azul}7}& {color {Azul}8}& {color {Azul}9}& {color {Azul}10}& {color {Azul}11}&{{color azul}} {puntos} {{color azul noche}} {flecha descendente}} {{color azul noche} {flecha descendente}} {{color azul noche} {flecha descendente}} {{color azul noche} {flecha descendente}}}{{color azul noche}} flecha abajo {{color azul noche}} flecha abajo {{color azul noche}} flecha abajo {{color azul noche}} flecha abajo {{color azul noche}}.{{color azul medianoche}} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha arriba.[3pt]1&{tfrac}{2}&2&3&{{tfrac {1}{3}}&{tfrac {1}{4}}&{tfrac {2}{3}&{tfrac {3}{2}}&4&5&{tfrac {1}{5}}&{cdots}{punto final}} ![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\end{array}}}](https://www.alegsaonline.com/image/9c2a6e438709adb23b4e1a6d6a1b63dae7378a0c.svg)
Al omitir las fracciones que aún se pueden simplificar, existe una biyección que asocia cada elemento de los números naturales, a un elemento de las fracciones:
Para demostrar que todos los números naturales y las fracciones tienen la misma cardinalidad, hay que añadir el elemento 0; después de cada fracción se añade su negativo;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 - 1 1 2 - 1 2 2 - 2 3 - 3 1 3 - 1 3 1 4 - 1 4 2 3 - 2 3 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccc}{color {Azul}1}&{color {Azul}2}& {color {Azul}3}& {color {Azul}4}& {color {Azul}5}& {color {Azul}6}& {color {Azul}7}&{color {Azul}8} {color {Azul}9} {color {Azul}10} {color {Azul}11} {color {Azul}12} {color {Azul}13} {color {Azul}14} {color {Azul}15}{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{color azul medianoche}} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha abajo}{color azul medianoche} flecha arriba.{color {azul de medianoche}descenso} y {color {azul de medianoche}descenso} y {color {azul de medianoche}descenso} y {color {azul de medianoche}descenso} y {color {azul de medianoche}descenso}[3pt]0&1&-1&{tfrac {1}{2}}-{tfrac {1}{2}}2&-2&3&-3&{tfrac {1}{3}}&-{tfrac {1}{3}}&{tfrac {1}{4}}&-{tfrac {1}{4}}&{tfrac {2}{3}}&-{tfrac {2}{3}}&{cdots \\\\\}end{array}} ![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&\cdots \\\end{array}}}](https://www.alegsaonline.com/image/6ddf816b26bea41e615eef0122806a5b05313173.svg)
De este modo, existe una biyección completa, que asocia una fracción a cada número natural. En otras palabras: ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad. Actualmente, los conjuntos que tienen el mismo número de elementos que el conjunto de los números naturales se llaman contables. Los conjuntos que tienen menos elementos que los números naturales se llaman como máximo contables. Con esta definición, el conjunto de los números racionales / fracciones es contable.
Los conjuntos infinitos suelen tener propiedades que van en contra de la intuición: David Hilbert lo demostró en un experimento que se llama la paradoja de Hilbert del Gran Hotel.
Números reales
El conjunto de los números reales no tiene la misma cardinalidad que el de los números naturales; hay más números reales que naturales. La idea expuesta anteriormente influyó en su demostración. En su artículo de 1891, Cantor consideró el conjunto T de todas las secuencias infinitas de dígitos binarios (es decir, cada dígito es cero o uno).
Comienza con una demostración constructiva del siguiente teorema:
Si s1 , s2 , ... , sn , ... es cualquier enumeración de elementos de T, entonces siempre hay un elemento s de T que no corresponde a ningún s nen la enumeración.
Para demostrarlo, dada una enumeración de elementos de T, como por ejemplo
| s 1= | (0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | ...) |
| s 2= | (1, | 1, | 1, | 1, | 1, | 1, | 1, | ...) |
| s 3= | (0, | 1, | 0, | 1, | 0, | 1, | 0, | ...) |
| s 4= | (1, | 0, | 1, | 0, | 1, | 0, | 1, | ...) |
| s 5= | (1, | 1, | 0, | 1, | 0, | 1, | 1, | ...) |
| s 6= | (0, | 0, | 1, | 1, | 0, | 1, | 1, | ...) |
| s 7= | (1, | 0, | 0, | 0, | 1, | 0, | 0, | ...) |
| ... |
La secuencia s se construye eligiendo el 1er dígito como complementario del 1er dígito de s 1(intercambiando 0s por 1s y viceversa), el 2do dígito como complementario del 2do dígito de s 2, el 3er dígito como complementario del 3er dígito de s 3, y generalmente para cada n, el n thdígito como complementario del n thdígito de s n. En el ejemplo, esto da como resultado:
| s 1 | = | (0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | ...) |
| s 2 | = | (1, | 1, | 1, | 1, | 1, | 1, | 1, | ...) |
| s 3 | = | (0, | 1, | 0, | 1, | 0, | 1, | 0, | ...) |
| s 4 | = | (1, | 0, | 1, | 0, | 1, | 0, | 1, | ...) |
| s 5 | = | (1, | 1, | 0, | 1, | 0, | 1, | 1, | ...) |
| s 6 | = | (0, | 0, | 1, | 1, | 0, | 1, | 1, | ...) |
| s 7 | = | (1, | 0, | 0, | 0, | 1, | 0, | 0, | ...) |
| ... | |||||||||
| s | = | (1, | 0, | 1, | 1, | 1, | 0, | 1, | ...) |
Por construcción, s difiere de cada s n, ya que sus nth dígitos difieren (resaltados en el ejemplo). Por lo tanto, s no puede aparecer en la enumeración.
A partir de este teorema, Cantor utiliza una prueba por contradicción para demostrar que:
El conjunto T es incontable.
Supone por contradicción que T era contable. En ese caso, todos sus elementos podrían escribirse como una enumeración s 1, s2 , ... , sn , ... . Aplicando el teorema anterior a esta enumeración se obtendría una secuencia s que no pertenece a la enumeración. Sin embargo, s era un elemento de T y, por tanto, debería estar en la enumeración. Esto contradice la suposición original, por lo que T debe ser incontable.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es el argumento diagonal de Cantor?
R: El argumento diagonal de Cantor es un método matemático para demostrar que dos conjuntos infinitos tienen la misma cardinalidad.
P: ¿Cuándo publicó Cantor artículos sobre su argumento diagonal?
R: Cantor publicó artículos sobre su argumento diagonal en 1877, 1891 y 1899.
P: ¿Dónde se publicó la primera prueba del argumento diagonal de Cantor?
R: La primera prueba del argumento diagonal de Cantor se publicó en 1890 en la revista de la Sociedad Matemática Alemana (Deutsche Mathematiker-Vereinigung).
P: Según Cantor, ¿cuándo dos conjuntos tienen la misma cardinalidad?
R: Según Cantor, dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si es posible asociar un elemento del segundo conjunto a cada elemento del primer conjunto, y asociar un elemento del primer conjunto a cada elemento del segundo conjunto.
P: ¿Funciona bien la afirmación de Cantor sobre la cardinalidad para conjuntos con un número finito de elementos?
R: Sí, la afirmación de Cantor funciona bien para conjuntos con un número finito de elementos.
P: ¿Es intuitiva la afirmación de Cantor sobre la cardinalidad para conjuntos con un número infinito de elementos?
R: No, la afirmación de Cantor sobre la cardinalidad es menos intuitiva para conjuntos con un número infinito de elementos.
P: ¿Cuántas veces publicó Cantor artículos sobre su argumento diagonal?
R: Cantor publicó artículos sobre su argumento diagonal tres veces: en 1877, 1891 y 1899.
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