Similitud geométrica: definición, criterios y propiedades

Descubre la similitud geométrica: definición, criterios y propiedades esenciales para identificar polígonos y triángulos similares, con ejemplos y ejercicios prácticos.

La similitud es una idea en geometría. Significa que dos polígonos, segmentos de línea u otras figuras pueden llegar a ser iguales mediante el cambio de tamaño. Los objetos similares no necesitan tener el mismo tamaño. Dos figuras son similares si sus ángulos tienen la misma medida y sus lados son proporcionales. Dos círculos, cuadrados o segmentos de línea son siempre similares. Si la figura F {\displaystyle F} es similar a la figura F ′ {\displaystyle F'} , entonces escribimos F ∼ F ′ {\displaystyle F\sim F'} .

Cuando se trata de similitudes, los triángulos son especiales. Esto se debe a que los triángulos pueden ser similares si sólo sus ángulos son iguales, o sólo sus lados son proporcionales. Todos los demás polígonos deben cumplir ambas condiciones.

La similitud es muy parecida a la congruencia. Las formas congruentes tienen los mismos lados y ángulos. Por ello, dos formas son congruentes entre sí si una puede convertirse en otra sólo mediante la rotación, el reflejo o el movimiento. De hecho, todas las formas que son congruentes entre sí son también similares, pero no al revés.

Criterios de similitud para triángulos

• AA (Ángulo-Ángulo): Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales respectivamente, entonces son similares. Basta conocer dos pares de ángulos iguales porque el tercer ángulo también será igual por suma interior.
• SSS (Lado-Lado-Lado): Si las longitudes de los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales (es decir, los tres cocientes correspondientes son iguales), los triángulos son similares.
• SAS (Lado-Ángulo-Lado): Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro triángulo y los ángulos comprendidos entre esos lados son iguales, entonces los triángulos son similares.

Ejemplo sencillo: si en triángulos ABC y A'B'C' se cumple AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A' = k, entonces ABC ∼ A'B'C' con razón de similitud k. Si k = 2, los lados del segundo triángulo son el doble y el área será 4 veces mayor.

Condición general para polígonos

Para polígonos con el mismo número de lados, la condición necesaria y suficiente de similitud es que sus ángulos correspondientes sean iguales y que las longitudes de los lados correspondientes sean proporcionales. En los polígonos no conviene probar sólo ángulos o sólo lados (salvo casos especiales, como los triángulos).

Transformaciones que generan similitud

• Homotecia (dilatación): transformación que toma un punto fijo (centro) y multiplica las distancias al centro por un factor k (razón de similitud). Si k>0 la orientación se conserva; si k<0 hay inversión de orientación (equivalente a una homotecia seguida de una reflexión).
• Composición con movimientos rígidos: una similitud en el plano puede combinar una homotecia con una traslación, rotación o reflexión. En conjunto estas transformaciones llevan una figura a otra manteniendo los ángulos y escalando longitudes por k.

Propiedades importantes de figuras similares

• Ángulos: los ángulos correspondientes son iguales.
• Longitudes: las longitudes correspondientes son proporcionales; existe un factor de escala k tal que cada longitud en la figura imagen es k veces la longitud correspondiente en la figura original.
• Perímetro: el perímetro se escala por k.
• Área: las áreas se escalan por k². Es decir, Área(F') = k² · Área(F).
• Medianas, alturas y bisectrices: estas longitudes correspondientes también son proporcionales con razón k.
• Radios: en círculos, el radio se escala por k; por eso todos los círculos son similares entre sí.
• Líneas y círculos: una similitud lleva rectas en rectas y círculos en círculos (o líneas en sí mismas).

Casos especiales

• Segmentos de línea: cualquier par de segmentos son similares porque basta un factor de escala entre sus longitudes.
• Cuadrados y polígonos regulares: todos los cuadrados son similares entre sí (ángulos iguales y lados proporcionales). Lo mismo ocurre con cualquier familia de polígonos regulares del mismo número de lados.

Cómo comprobar similitud en la práctica

• Identificar los vértices correspondientes y comprobar pares de ángulos iguales (para triángulos, con dos pares basta).
• Calcular razones entre lados correspondientes y comprobar si son iguales entre sí.
• Si se dispone de coordenadas, se puede buscar una transformación afín compuesta por escala, rotación y traslación que lleve una figura sobre la otra; si existe una con una única escala uniforme k (misma en todas direcciones), son similares.

Resumen: la similitud conserva la forma (ángulos) y modifica el tamaño mediante un factor de escala. Los triángulos son particularmente fáciles de manejar porque existen criterios simples (AA, SSS, SAS). Las consecuencias prácticas incluyen relaciones inmediatas entre perímetros, áreas y otras magnitudes geométricas relacionadas por la razón de similitud.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la similitud?

P: ¿Cómo se sabe si dos formas son similares?

P: ¿Son todos los polígonos similares entre sí?

P: ¿Cómo se compara la semejanza con la congruencia?

P: ¿Los círculos son siempre similares?

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