La Métrica de Schwarzschild fue calculada por Karl Schwarzschild como solución a las ecuaciones de campo de Einstein en 1916. También conocida como solución de Schwarzschild, es una solución de la relatividad general en el campo de la astrofísica. Una métrica se refiere a una expresión que describe el espacio‑tiempo; en particular, una métrica de Schwarzschild describe el campo gravitatorio alrededor de un agujero negro de Schwarzschild, un agujero negro esférico no giratorio, sin campo magnético y con constante cosmológica nula. Esta solución es válida en el vacío exterior a una distribución de masa esféricamente simétrica y, por Birkhoff, es estática independientemente de la dinámica interior del objeto.

Se trata esencialmente de una ecuación que describe cómo se mueven partículas y fotones en las cercanías de un agujero negro: las trayectorias extremizan la métrica y se conocen como geodésicas. La métrica predice fenómenos observables como la dilatación del tiempo gravitacional, el corrimiento al rojo gravitacional, la desviación de la luz y la precesión del perihelio.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{{\frac {1}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2} {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}

Interpretación y significado de los símbolos

  • c: velocidad de la luz en el vacío.
  • G: constante de gravitación universal.
  • M: masa del objeto que genera el campo gravitatorio (por ejemplo, la masa del agujero negro).
  • t, r, θ, φ: coordenadas de Schwarzschild: tiempo propio (t), radio areal (r) y coordenadas angulares usuales (θ, φ).
  • La signatura adoptada en la expresión es (-,+,+,+). El término (1 - 2GM/rc^2) aparece en los componentes g_tt y g_rr y controla muchos efectos físicos.

Radio de Schwarzschild y horizontes

Se define el radio de Schwarzschild como

r_s = 2GM / c^2.

En r = r_s la componente g_tt = -(1 - r_s/r) se anula y g_rr diverge en estas coordenadas: esto señala el horizonte de sucesos (event horizon). Esa divergencia es una singularidad de coordenadas, no física; puede eliminarse cambiando a coordenadas regulares en el horizonte (por ejemplo, coordenadas de Eddington–Finkelstein o las coordenadas de Kruskal–Szekeres). En cambio, en r = 0 existe una singularidad física donde los invariantes de curvatura (por ejemplo, el escalar de Kretschmann) divergen y la teoría clásica deja de ser aplicable.

Órbitas, esfera de fotones e ISCO

  • Esfera de fotones: a r = 3GM/c^2 = 1.5 r_s existe una órbita circular inestable para fotones (la llamada photon sphere).
  • ISCO (órbita circular estable más interna): para partículas masivas la órbita circular estable más interna se encuentra en r = 6GM/c^2 = 3 r_s. Por r < 6GM/c^2 las órbitas circulares son inestables o inexistentes.

Efectos observables y límites

  • Dilatación temporal y corrimiento al rojo: relojes cercanos a la masa adelantan menos respecto a los lejanos; la frecuencia de la luz se desplaza hacia el rojo al propagarse hacia zonas de menor potencial gravitacional.
  • Deflexión de la luz y lente gravitatoria: la curvatura predicha por la métrica de Schwarzschild explica la desviación de rayos luminosos por masas compactas (confirmado por observaciones desde 1919 y ampliamente usado en astrofísica).
  • Retraso de Shapiro: el tiempo de tránsito de señales que pasan cerca de una masa se incrementa respecto al valor Newtoniano.
  • Precesión del perihelio: la métrica explica la precesión anómala en la órbita de Mercurio que no se explicaba por la mecánica Newtoniana.

Aspectos matemáticos y extensiones

La solución de Schwarzschild es la solución vacía, estática y esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein con constante cosmológica nula. Si se incorpora rotación o carga eléctrica aparecen las soluciones de Kerr y Reissner–Nordström, respectivamente. Para describir el interior de una estrella es necesario usar la solución interior de Schwarzschild (una solución con materia), que se empata con la exterior en la frontera de la estrella.

Para estudiar el horizonte sin la singularidad de coordenadas se usan coordenadas regulares (Eddington–Finkelstein, Kruskal–Szekeres) que permiten extender la solución más allá de r = r_s y construir diagramas de Penrose que representan la estructura causal del espacio‑tiempo.

Ejemplos numéricos

  • Para la masa del Sol: r_s ≈ 3 km. Por eso el Sol no es un agujero negro (su radio ≫ r_s).
  • Para la Tierra: r_s ≈ 9 mm.

Resumen

La métrica de Schwarzschild es la piedra angular para entender los efectos gravitatorios en torno a masas compactas esféricas y constituye la primera solución exacta física de la relatividad general. Describe horizontes de sucesos, singularidades, órbitas de partículas y fotones, y proporciona predicciones que han sido confirmadas por múltiples experimentos y observaciones astronómicas. Para tratar fenómenos reales en agujeros negros astrofísicos (que suelen rotar) hay que usar soluciones más generales como la métrica de Kerr.