Métrica de Schwarzschild: definición, ecuación y física de agujeros negros
Métrica de Schwarzschild: definición, ecuación y física de agujeros negros — explica espacio-tiempo, singularidades y órbitas para estudiantes y divulgación científica.
La Métrica de Schwarzschild fue calculada por Karl Schwarzschild como solución a las ecuaciones de campo de Einstein en 1916. También conocida como solución de Schwarzschild, es una solución de la relatividad general en el campo de la astrofísica. Una métrica se refiere a una expresión que describe el espacio‑tiempo; en particular, una métrica de Schwarzschild describe el campo gravitatorio alrededor de un agujero negro de Schwarzschild, un agujero negro esférico no giratorio, sin campo magnético y con constante cosmológica nula. Esta solución es válida en el vacío exterior a una distribución de masa esféricamente simétrica y, por Birkhoff, es estática independientemente de la dinámica interior del objeto.
Se trata esencialmente de una ecuación que describe cómo se mueven partículas y fotones en las cercanías de un agujero negro: las trayectorias extremizan la métrica y se conocen como geodésicas. La métrica predice fenómenos observables como la dilatación del tiempo gravitacional, el corrimiento al rojo gravitacional, la desviación de la luz y la precesión del perihelio.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{{\frac {1}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2} 
Interpretación y significado de los símbolos
- c: velocidad de la luz en el vacío.
- G: constante de gravitación universal.
- M: masa del objeto que genera el campo gravitatorio (por ejemplo, la masa del agujero negro).
- t, r, θ, φ: coordenadas de Schwarzschild: tiempo propio (t), radio areal (r) y coordenadas angulares usuales (θ, φ).
- La signatura adoptada en la expresión es (-,+,+,+). El término (1 - 2GM/rc^2) aparece en los componentes g_tt y g_rr y controla muchos efectos físicos.
Radio de Schwarzschild y horizontes
Se define el radio de Schwarzschild como
r_s = 2GM / c^2.
En r = r_s la componente g_tt = -(1 - r_s/r) se anula y g_rr diverge en estas coordenadas: esto señala el horizonte de sucesos (event horizon). Esa divergencia es una singularidad de coordenadas, no física; puede eliminarse cambiando a coordenadas regulares en el horizonte (por ejemplo, coordenadas de Eddington–Finkelstein o las coordenadas de Kruskal–Szekeres). En cambio, en r = 0 existe una singularidad física donde los invariantes de curvatura (por ejemplo, el escalar de Kretschmann) divergen y la teoría clásica deja de ser aplicable.
Órbitas, esfera de fotones e ISCO
- Esfera de fotones: a r = 3GM/c^2 = 1.5 r_s existe una órbita circular inestable para fotones (la llamada photon sphere).
- ISCO (órbita circular estable más interna): para partículas masivas la órbita circular estable más interna se encuentra en r = 6GM/c^2 = 3 r_s. Por r < 6GM/c^2 las órbitas circulares son inestables o inexistentes.
Efectos observables y límites
- Dilatación temporal y corrimiento al rojo: relojes cercanos a la masa adelantan menos respecto a los lejanos; la frecuencia de la luz se desplaza hacia el rojo al propagarse hacia zonas de menor potencial gravitacional.
- Deflexión de la luz y lente gravitatoria: la curvatura predicha por la métrica de Schwarzschild explica la desviación de rayos luminosos por masas compactas (confirmado por observaciones desde 1919 y ampliamente usado en astrofísica).
- Retraso de Shapiro: el tiempo de tránsito de señales que pasan cerca de una masa se incrementa respecto al valor Newtoniano.
- Precesión del perihelio: la métrica explica la precesión anómala en la órbita de Mercurio que no se explicaba por la mecánica Newtoniana.
Aspectos matemáticos y extensiones
La solución de Schwarzschild es la solución vacía, estática y esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein con constante cosmológica nula. Si se incorpora rotación o carga eléctrica aparecen las soluciones de Kerr y Reissner–Nordström, respectivamente. Para describir el interior de una estrella es necesario usar la solución interior de Schwarzschild (una solución con materia), que se empata con la exterior en la frontera de la estrella.
Para estudiar el horizonte sin la singularidad de coordenadas se usan coordenadas regulares (Eddington–Finkelstein, Kruskal–Szekeres) que permiten extender la solución más allá de r = r_s y construir diagramas de Penrose que representan la estructura causal del espacio‑tiempo.
Ejemplos numéricos
- Para la masa del Sol: r_s ≈ 3 km. Por eso el Sol no es un agujero negro (su radio ≫ r_s).
- Para la Tierra: r_s ≈ 9 mm.
Resumen
La métrica de Schwarzschild es la piedra angular para entender los efectos gravitatorios en torno a masas compactas esféricas y constituye la primera solución exacta física de la relatividad general. Describe horizontes de sucesos, singularidades, órbitas de partículas y fotones, y proporciona predicciones que han sido confirmadas por múltiples experimentos y observaciones astronómicas. Para tratar fenómenos reales en agujeros negros astrofísicos (que suelen rotar) hay que usar soluciones más generales como la métrica de Kerr.
Derivación
Aunque se puede encontrar una forma más complicada de calcular la métrica de Schwarzschild utilizando los símbolos de Christoffel, también se puede derivar utilizando las ecuaciones de la velocidad de escape ( v e {displaystyle v_{e}} ), la 
dilatación del tiempo (dt'), la contracción de la longitud (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v= {\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v es la velocidad de la partícula
G es la constante gravitacional
M es la masa del agujero negro
r es la cercanía de la partícula al objeto pesado
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' es el cambio real de la partícula en el tiempo
dt es el cambio de la partícula en el tiempo
dr' es la distancia real recorrida
dr es el cambio de la partícula en la distancia
v es la velocidad de la partícula
c es la velocidad de la luz
Nota: el verdadero intervalo de tiempo y la verdadera distancia recorrida por la partícula son diferentes del tiempo y la distancia calculados en los cálculos de la física clásica, ¡ya que está viajando en un campo gravitatorio tan pesado!
Utilizando la ecuación del espaciotiempo plano en coordenadas esféricas:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sen 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2} 
(4)
ds es la trayectoria de la partícula
θ {\displaystyle \theta } 
es el ángulo
d θ {\displaystyle \theta } y d ϕ {\displaystyle \phi } son el 
cambio de ángulos
Introduciendo las ecuaciones de la velocidad de escape, la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud (ecuaciones 1, 2 y 3) en la ecuación del espaciotiempo plano (ecuación 4), se obtiene la métrica de Schwarzschild:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{{\frac {(dr)^{2}}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2} 
(5)
De esta ecuación podemos sacar el radio de Schwarzschild ( r s {\displaystyle r_{s}}, el radio de este
agujero negro. Aunque esto se utiliza más comúnmente para describir un agujero negro de Schwarzschild, el radio de Schwarzschild se puede calcular para cualquier objeto pesado.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{frac {r_{s}{r})(dt)^{2}+{{frac {1}(1-{frac {r_{s}{r})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} es el límite del radio establecido del objeto
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es la métrica de Schwarzschild?
R: La métrica de Schwarzschild es una ecuación de la relatividad general en el campo de la astrofísica que describe cómo se desplaza una partícula por el espacio cercano a un agujero negro. Fue calculada por Karl Schwarzschild como solución a las ecuaciones de campo de Einstein en 1916.
P: ¿A qué se refiere una métrica?
R: Una métrica se refiere a una ecuación que describe el espaciotiempo; en particular, una métrica de Schwarzschild describe el campo gravitatorio alrededor de un agujero negro de Schwarzschild.
P: ¿Cuáles son algunas características del agujero negro de Schwarzschild?
R: El agujero negro de Schwarzschild no gira, es esférico y no tiene campo magnético. Además, su constante cosmológica es cero.
P: ¿Cómo podemos describir el campo gravitatorio alrededor de un agujero negro de Schwarzschild?
R: Podemos describirlo utilizando la ecuación métrica de Schwartzchild, que describe cómo se mueven las partículas por el espacio cerca de este tipo de agujero negro.
P: ¿Quién calculó por primera vez esta ecuación?
R: Karl Schwartzchild calculó por primera vez esta ecuación como solución a las ecuaciones de campo de Einstein en 1916.
P: ¿Qué representa (ds)^2 en esta ecuación?
R:(ds)^2 representa la distancia entre dos puntos del espaciotiempo medida con respecto a las coordenadas de tiempo y espacio.
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