Métrica de Schwarzschild

La métrica de Schwarzschild fue calculada por Karl Schwarzschild como solución a las ecuaciones de campo de Einstein en 1916. También conocida como solución de Schwarzschild, es una ecuación de la relatividad general en el campo de la astrofísica. Una métrica se refiere a una ecuación que describe el espacio-tiempo; en particular, una métrica de Schwarzschild describe el campo gravitatorio alrededor de un agujero negro de Schwarzschild, un agujero negro esférico no giratorio sin campo magnético y en el que la constante cosmológica es cero.

Se trata esencialmente de una ecuación que describe cómo se mueve una partícula por el espacio cercano a un agujero negro.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{{\frac {1}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

Derivación

Aunque se puede encontrar una forma más complicada de calcular la métrica de Schwarzschild utilizando los símbolos de Christoffel, también se puede derivar utilizando las ecuaciones de la velocidad de escape ( v e {displaystyle v_{e}} ), la $v_{e}$ dilatación del tiempo (dt'), la contracción de la longitud (dr'):

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v= {\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v es la velocidad de la partícula
G es la constante gravitacional
M es la masa del agujero negro
r es la cercanía de la partícula al objeto pesado

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' es el cambio real de la partícula en el tiempo
dt es el cambio de la partícula en el tiempo
dr' es la distancia real recorrida
dr es el cambio de la partícula en la distancia
v es la velocidad de la partícula
c es la velocidad de la luz

Nota: el verdadero intervalo de tiempo y la verdadera distancia recorrida por la partícula son diferentes del tiempo y la distancia calculados en los cálculos de la física clásica, ¡ya que está viajando en un campo gravitatorio tan pesado!

Utilizando la ecuación del espaciotiempo plano en coordenadas esféricas:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sen 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2} $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds es la trayectoria de la partícula

θ {\displaystyle \theta } $\theta$ es el ángulo
d θ {\displaystyle \theta } $\theta$ y d ϕ {\displaystyle \phi } son el $\phi$ cambio de ángulos

Introduciendo las ecuaciones de la velocidad de escape, la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud (ecuaciones 1, 2 y 3) en la ecuación del espaciotiempo plano (ecuación 4), se obtiene la métrica de Schwarzschild:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{{\frac {(dr)^{2}}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

De esta ecuación podemos sacar el radio de Schwarzschild ( r s {\displaystyle r_{s}}, el radio de este $r_{s}$ agujero negro. Aunque esto se utiliza más comúnmente para describir un agujero negro de Schwarzschild, el radio de Schwarzschild se puede calcular para cualquier objeto pesado.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{frac {r_{s}{r})(dt)^{2}+{{frac {1}(1-{frac {r_{s}{r})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ es el límite del radio establecido del objeto

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la métrica de Schwarzschild?

R: La métrica de Schwarzschild es una ecuación de la relatividad general en el campo de la astrofísica que describe cómo se desplaza una partícula por el espacio cercano a un agujero negro. Fue calculada por Karl Schwarzschild como solución a las ecuaciones de campo de Einstein en 1916.

P: ¿A qué se refiere una métrica?

R: Una métrica se refiere a una ecuación que describe el espaciotiempo; en particular, una métrica de Schwarzschild describe el campo gravitatorio alrededor de un agujero negro de Schwarzschild.

P: ¿Cuáles son algunas características del agujero negro de Schwarzschild?

R: El agujero negro de Schwarzschild no gira, es esférico y no tiene campo magnético. Además, su constante cosmológica es cero.

P: ¿Cómo podemos describir el campo gravitatorio alrededor de un agujero negro de Schwarzschild?

R: Podemos describirlo utilizando la ecuación métrica de Schwartzchild, que describe cómo se mueven las partículas por el espacio cerca de este tipo de agujero negro.

P: ¿Quién calculó por primera vez esta ecuación?

R: Karl Schwartzchild calculó por primera vez esta ecuación como solución a las ecuaciones de campo de Einstein en 1916.

P: ¿Qué representa (ds)^2 en esta ecuación?

R:(ds)^2 representa la distancia entre dos puntos del espaciotiempo medida con respecto a las coordenadas de tiempo y espacio.