Momento de inercia polar

Nota: Diferentes disciplinas utilizan el término momento de inercia para referirse a diferentes momentos. En física, el momento de inercia es estrictamente el segundo momento de la masa con respecto a la distancia de un eje, que caracteriza la aceleración angular de un objeto debido a un par aplicado. En ingeniería (especialmente mecánica y civil), el momento de inercia se refiere comúnmente al segundo momento del área. Cuando se lea el momento de inercia polar, hay que comprobar que se refiere al "segundo momento polar del área" y no al momento de inercia. El segundo momento polar del área tendrá unidades de longitud a la cuarta potencia (por ejemplo, m 4 {\displaystyle m^{4}} o i n 4 {\displaystyle in^{4}} ), mientras que el momento de inercia es la masa por la longitud al cuadrado (por ejemplo, k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} o l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}. ).

El segundo momento polar del área (también denominado "momento polar de inercia") es una medida de la capacidad de un objeto para resistir la torsión en función de su forma. Es un aspecto del segundo momento de área vinculado a través del teorema del eje perpendicular, en el que el segundo momento de área plano utiliza la forma de la sección transversal de una viga para describir su resistencia a la deformación (flexión) cuando se somete a una fuerza aplicada en un plano paralelo a su eje neutro, el segundo momento de área polar utiliza la forma de la sección transversal de una viga para describir su resistencia a la deformación (torsión) cuando se aplica un momento (par) en un plano perpendicular al eje neutro de la viga. Mientras que el segundo momento plano del área se denota más a menudo con la letra I, el segundo momento polar del área se denota más a menudo con la letra I z, o con la letra J. o por la letra J, en los libros de texto de ingeniería. en los libros de texto de ingeniería.

Los valores calculados para el segundo momento polar del área se utilizan con mayor frecuencia para describir la resistencia a la torsión de un eje cilíndrico macizo o hueco, como en el eje o la transmisión de un vehículo. Cuando se aplican a vigas o ejes no cilíndricos, los cálculos del segundo momento polar del área son erróneos debido a la deformación del eje/viga. En estos casos, debe utilizarse una constante de torsión, en la que se añade una constante de corrección al cálculo del valor.

El segundo momento polar del área lleva las unidades de longitud a la cuarta potencia ( L 4 {\displaystyle L^{4}} ); los metros a la cuarta potencia ( m 4 {\displaystyle m^{4}} ) en el sistema de unidades métrico, y las pulgadas a la cuarta potencia ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} ) en el sistema de unidades imperial. La fórmula matemática para el cálculo directo se da como una integral múltiple sobre el área de una forma, R {\displaystyle R} a una distancia ρ {punto de vista \rho} de un eje arbitrario O {punto de vista O} .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}.

En la forma más simple, el segundo momento polar del área es una sumatoria de los dos segundos momentos planos del área, I x {{displaystyle I_{x}} e I y {{displaystyle I_{y}}. . Utilizando el teorema de Pitágoras, la distancia al eje O {\displaystyle O} ρ {\displaystyle \rho } puede descomponerse en sus componentes x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y}, y el cambio de área, d A {\displaystyle dA} , desglosado en sus componentes x {estilo de visualización x} e y {estilo de visualización y}, d x {estilo de visualización dx} y d y {estilo de visualización dy} .

Dadas las dos fórmulas para los segundos momentos planos del área:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy}} , y I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \iimits _{R}y^{2}dxdy} e I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

La relación con el segundo momento polar del área puede mostrarse como

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

∴ J = I x + I y {\displaystyle \Npor lo tanto J=I_{x}+I_{y}}

Esencialmente, a medida que aumenta la magnitud del segundo momento polar del área (es decir, la forma de la sección transversal del objeto es grande), se necesitará más par de torsión para provocar una deflexión torsional del objeto. Sin embargo, hay que tener en cuenta que esto no tiene ninguna relación con la rigidez torsional proporcionada a un objeto por los materiales que lo componen; el segundo momento polar del área es simplemente la rigidez proporcionada a un objeto por su forma únicamente. La rigidez a la torsión proporcionada por las características de los materiales se conoce como módulo de cizallamiento, G. Relacionando estos dos componentes de la rigidez, se puede calcular el ángulo de torsión de una viga, θ {\displaystyle \theta } utilizando:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={frac {Tl}{JG}}

Donde T {\displaystyle T} es el momento aplicado (par) y l {\displaystyle l} es la longitud de la viga. Como se muestra, mayores pares y longitudes de viga conducen a mayores deflexiones angulares, donde los valores más altos para el segundo momento polar del área, J {\displaystyle J} y el módulo de cizallamiento del material, G reduce el potencial de deflexiones angulares.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es el momento de inercia en física?

P: ¿A qué se refiere el segundo momento polar de área en ingeniería?

P: ¿Cómo se calcula el segundo momento polar del área?

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