Torsión en mecánica de sólidos: esfuerzo cortante, ángulo y fórmulas

En mecánica de sólidos, la torsión es el giro de un objeto que resulta de un par aplicado. En las secciones circulares, el esfuerzo cortante resultante es tangencial y actúa perpendicular al radio, incrementándose linealmente desde el centro hasta la periferia.

El esfuerzo cortante en un punto de un eje es:

τ θ z = T r J {\displaystyle \tau _{theta _{z}}={Tr \over J}}

T es el par aplicado, r es la distancia al centro de rotación y J es el momento polar de inercia.

El ángulo de giro se puede encontrar utilizando:

θ = T L J G {\displaystyle \theta _{}={TL \_sobre JG}}

Dónde:

• T: par (o torque) aplicado. Unidades: N·m (SI).
• r: distancia radial desde el eje hasta el punto considerado. Unidades: m.
• J: momento polar de inercia (también llamado constante polar de torsión para secciones circulares). Unidades: m4.
• θ: ángulo total de giro entre los extremos de la barra de longitud L. Se mide en radianes.
• L: longitud de la porción del eje sometida al par. Unidades: m.
• G: módulo de elasticidad cortante (módulo de rigidez) del material. Unidades: Pa (N/m2).

Relaciones adicionales y casos especiales

• Esfuerzo máximo: en un eje circular macizo el esfuerzo cortante es máximo en la superficie exterior (r = c, radio exterior), por lo que τmax = T·c / J.
• Momento polar de inercia para sección circular maciza: J = (π/2)·c4, donde c es el radio exterior.
• Momento polar para un tubo circular (hueco): J = (π/2)·(c_o4 − c_i4), con c_o y c_i radios exterior e interior respectivamente.
• Ángulo de giro por unidad de longitud: la derivada del ángulo con respecto a la coordenada axial z es θ' = dθ/dz = T / (J·G). La torsión total entre dos secciones separadas una distancia L es θ = ∫(T/(J·G)) dz; si T, J y G son constantes se reduce a θ = T·L/(J·G).
• Relación esfuerzo-deformación: la deformación cortante (γ) en radio r viene dada por γ(r) = r·(dθ/dz). Aplicando la ley de Hooke en corte, τ(r) = G·γ(r) = G·r·(dθ/dz), que conduce a τ = Tr/J.
• Secciones no circulares: para perfiles no circulares (rectangulares, en I, huecos con geometría compleja) no se cumple estrictamente τ = Tr/J con J como momento polar geométrico; en esos casos se define una constante de torsión Jt (o constante torsional) y, además, suele aparecer fenómeno de warping (abombamiento). La solución exacta requiere métodos más avanzados (energía, funciones de Prandtl o elementos finitos).
• Secciones delgadas cerradas: para una sección de pared delgada y cerrada el valor de la constante torsional puede aproximarse por Jt = 4A_m2 / ∮(ds/t), donde A_m es el área medianil de la sección cerrada, ds es un elemento de longitud a lo largo de la pared y t es el espesor local. Esta expresión se usa para tejidos finos y perfiles soldados/tubulares.

Suposiciones y límites de validez

• Las fórmulas presentadas se basan en la teoría de torsión lineal de Saint-Venant: materiales elásticos lineales, deformaciones pequeñas y distribución de esfuerzos derivada para ejes prismaticos sometidos a par concentrado y longitud suficiente para que los efectos de extremos sean despreciables.
• Para pares variables a lo largo del eje, θ se obtiene integrando T(z)/(J(z)·G(z)) a lo largo de la longitud.
• En situaciones con cargas combinadas (flexión + torsión, tracción + torsión) hay que superponer los esfuerzos y comprobar criterios de falla apropiados (por ejemplo, criterio de Von Mises o de máxima deformación).

Consejos prácticos

• Al diseñar ejes torsionados se verifica τmax frente a la resistencia al corte del material y θ frente a requisitos de rigidez (límite de giro permitido).
• Para reducir ángulo de giro se puede aumentar J (mayor sección o elegir sección tubular con radio mayor), reducir la longitud L o usar un material con mayor G.
• Las secciones tubulares suelen ser más eficientes en torsión (mayor J por masa empleada) que las macizas.

Si desea, puedo añadir ejemplos numéricos paso a paso (cálculo de τ(r), τmax, θ para un eje macizo o hueco), o incluir fórmulas y resultados para secciones rectangulares y otros perfiles comunes.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la torsión?

P: ¿Cómo se relaciona el esfuerzo cortante con la torsión?

P: ¿Qué ecuación se puede utilizar para calcular el esfuerzo cortante en un punto de un eje?

P: ¿Qué ecuación se puede utilizar para hallar el ángulo de torsión?

P: ¿Qué representa "T" en las ecuaciones para el esfuerzo cortante y el ángulo de torsión?

P: ¿Qué representa "r" en la ecuación para el esfuerzo cortante?

P: ¿Qué representa "J" en ambas ecuaciones?

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