Hexacontágono (polígono de 60 lados)

Geometría y fórmulas clave

Entre las propiedades numéricas importantes de un hexacontágono regular se incluyen:

• Cada ángulo interior es igual a (n-2)·180°/n = 174°.
• La suma de todos los ángulos interiores es (n-2)·180° = 10.440°.
• El ángulo exterior (paso de rotación central entre vértices adyacentes) es de 6°.
• Número de diagonales: n(n-3)/2 = 1.710.

Las fórmulas de área para un 60-gono regular con lado s o radio circunscrito R son las habituales para los polígonos regulares n: A = (n s^2)/(4 tan(π/n)) o A = (n/2) R^2 sin(2π/n). Las coordenadas de los vértices sobre la circunferencia unidad pueden escribirse como números complejos e^{2πik/60} para k = 0,1,...,59.

Simetría y construibilidad

El grupo de simetría de un hexacontágono regular es el grupo diedral D60, de orden 120, formado por 60 rotaciones y 60 reflexiones. El 60-gono regular es construible con regla y compás porque 60 = 2^2·3·5 y los factores primos 3 y 5 son primos de Fermat; en consecuencia, una secuencia de construcciones clásicas puede producir sus vértices (por ejemplo, mediante divisiones sucesivas del ángulo para obtener pasos de 6°).

Variaciones y polígonos estrellados

Más allá de la forma convexa regular, existen muchas versiones de polígono estrellado denotadas {60/k} para enteros k que son relativamente primos con 60. Estas estelaciones producen formas estrelladas intrincadas al conectar cada vértice con el vértice k-ésimo alrededor del círculo. La familia de estas figuras muestra cómo un mismo conjunto de vértices puede generar múltiples circuitos poligonales distintos.

Historia, nombre y usos

Los polígonos con muchos lados se han estudiado desde la Antigüedad en el contexto de la aproximación del círculo, la geometría y los problemas de construcción. El prefijo específico «hexacont-» deriva de numerales griegos clásicos. Entre los usos prácticos de los polígonos de muchos lados se encuentran el modelado geométrico, el diseño gráfico, los motivos de teselación y la aproximación de arcos circulares en dibujos de ingeniería. Para información general sobre los polígonos, véase recursos relacionados.

Datos destacados

Como su ángulo exterior es exactamente de 6°, el hexacontágono regular se relaciona de manera natural con la división de un círculo en 60 partes, una división que también sustenta la hora de 60 minutos y el círculo de 360 grados en los sistemas sexagesimales históricos. El gran número de diagonales y la abundancia de formas estrelladas posibles convierten al 60-gono en un ejemplo rico en los estudios de combinatoria poligonal y simetría.