Función escalón de Heaviside

La función Heaviside, H es una función no continua cuyo valor es cero para una entrada negativa y uno para una entrada positiva.

La función se utiliza en las matemáticas de la teoría de control para representar una señal que se enciende en un momento determinado y permanece encendida indefinidamente. Recibe su nombre del inglés Oliver Heaviside.

La función de Heaviside es la integral de la función delta de Dirac: H′ = δ. A veces se escribe como

La función escalonada de Heaviside, utilizando la convención del semimáximo

Forma discreta

También podemos definir una forma alternativa de la función escalón de Heaviside como función de una variable discreta n:

H [ n ] = { 0 , n < 0 1 , n ≥ 0 {\displaystyle H[n]={begin{cases}0,&n<0\1,&n\geq 0\cases}} $H[n]={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0\end{cases}}$

donde n es un número entero.

H ( x ) = lim z → x - ( | z | / z + 1 ) / 2 ) {\displaystyle H(x)=lim _{z\rightarrow x^{-}}((|z|/z+1)/2)} $H(x)=\lim _{z\rightarrow x^{-}}((|z|/z+1)/2)$

El impulso unitario en tiempo discreto es la primera diferencia del paso en tiempo discreto

δ [ n ] = H [ n ] - H [ n - 1 ] . {\displaystyle \delta \left[n\right]=H[n]-H[n-1]. } $\delta \left[n\right]=H[n]-H[n-1].$

Esta función es la suma acumulativa del delta de Kronecker:

H [ n ] = ∑ k = - ∞ n δ [ k ] {\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,} $H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,$

donde

δ [ k ] = δ k , 0 {\displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0},} $\delta [k]=\delta _{k,0}\,$

es la función de impulso unitaria discreta.

Representaciones

A menudo es útil una representación integral de la función escalonada de Heaviside:

H ( x ) = lim ϵ → 0 + - 1 2 π i ∫ - ∞ ∞ 1 τ + i ϵ e - i x τ d τ = lim ϵ → 0 + 1 2 π i ∫ - ∞ ∞ 1 τ - i ϵ e i x τ d τ . {\displaystyle H(x)=lim _{epsilon \}}-a 0^{+}}-{{1}sobre 2\pi \mathrm {i} 1 sobre \tau +mathrm {i} \\N -epsilon }\N -mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau ={lim _{epsilon \tau \tau \tau \tau \tau \tau ={lim _{epsilon \tau \tau \tau \tau \tau \tau \tau \tau \tau \tau \tau} 1 sobre \Nmathrm {i} \\N -epsilon }\\Nmathrm {e} ^{mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \N -epsilon. } $H(x)=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}-{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +\mathrm {i} \epsilon }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau =\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau -\mathrm {i} \epsilon }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau .$

H(0)

El valor de la función en 0 puede definirse como H(0) = 0, H(0) = ½ o H(0) = 1.

H ( x ) = 1 + sgn ( x ) 2 = { 0 , x < 0 1 2 , x = 0 1 , x > 0. {\displaystyle H(x)={frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}={comienza{casos}0,&\\frac {1}{2},&x=0\\1,&x>0.\final{casos}} $H(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}$

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Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es la función de Heaviside?

R: La función de Heaviside es una función no continua cuyo valor es cero para una entrada negativa y uno para una entrada positiva.

P: ¿Por qué se utiliza la función de Heaviside en la teoría de control?

R: La función Heaviside se utiliza en la teoría de control para representar una señal que se enciende en un momento determinado y permanece encendida indefinidamente.

P: ¿Quién da nombre a la función de Heaviside?

R: La función Heaviside debe su nombre al inglés Oliver Heaviside.

P: ¿Qué relación existe entre la función de Heaviside y la función delta de Dirac?

R: La función de Heaviside es la integral de la función delta de Dirac: H′(x)= δ(x).

P: ¿Cuál es el resultado de la función de Heaviside para entradas positivas?

R: La función de Heaviside da como resultado uno para entradas positivas.

P: ¿Cuál es el resultado de la función Heaviside para entradas negativas?

R: La función Heaviside da como resultado cero para entradas negativas.

P: ¿Qué tipo de función es la función Heaviside?

R: La función Heaviside es una función no continua.