La función Heaviside, H es una función no continua cuyo valor es cero para una entrada negativa y uno para una entrada positiva.

La función se utiliza en las matemáticas de la teoría de control para representar una señal que se enciende en un momento determinado y permanece encendida indefinidamente. Recibe su nombre del inglés Oliver Heaviside.

La función de Heaviside es la integral de la función delta de Dirac: H′ = δ. A veces se escribe como H(t)=½(1+sgn(t)) o usando la notación habitual de escalón unitario u(t), de modo que

Definición y convenciones

La definición más común de la función escalón unitario es

H(t) = 0 si t < 0, y H(t) = 1 si t > 0.

En t = 0 existen varias convenciones:

  • H(0) = 0 (alguna literatura de matemáticas).
  • H(0) = 1 (algunas aplicaciones ingenieriles).
  • H(0) = 1/2 (convención simétrica, útil en análisis de transformadas y teoría de distribuciones).

Representaciones como límite

La función Heaviside puede obtenerse como límite de funciones continuas que pasan a ser cada vez más escalonadas. Ejemplos:

  • H(t) = lim_{ε→0+} 1/(1+e^{-t/ε}) (límite de una función logística).
  • H(t) = lim_{ε→0+} (1/2 + (1/π) arctan(t/ε)) (límite usando arctan).
  • H(t) = lim_{ε→0+} (1/2)(1 + tanh(t/ε)) (límite usando tanh).
  • También se puede escribir en términos de la función signo: H(t) = (1 + sgn(t))/2, adoptando la convención sgn(0)=0 para obtener H(0)=1/2.

Relación con la delta de Dirac

En el sentido de distribuciones (derivadas generalizadas) la derivada de la función de Heaviside es la delta de Dirac:

d/dt H(t) = δ(t).

También se tiene la relación inversa por integración:

H(t) = ∫_{-∞}^{t} δ(τ) dτ, interpretada como distribución.

Propiedades útiles

  • Desplazamiento: H(t - t0) representa un escalón que se activa en t = t0.
  • Escalado: H(a t) comprime o estira el punto de salto según el factor a (si a>0 mantiene la dirección).
  • Suma y resta para formar pulsos: H(t - a) - H(t - b) es un pulso que vale 1 en a < t < b y 0 fuera.
  • Multiplicación por funciones: f(t)H(t - t0) “enciende” la función f a partir de t0, útil para definir funciones por tramos.
  • Relación con la función signo: H(t) = (1 + sgn(t))/2 bajo la convención apropiada en 0.

Transformadas

  • Transformada de Laplace (para la convención causal, H(t)=u(t)): L{H(t)} = 1/s, Re(s)>0.
  • Transformada de Fourier (en el sentido de distribuciones):

F{H(t)} = PV(1/(iω)) + π δ(ω), donde PV indica el valor principal de Cauchy. El resultado refleja que la transformada contiene una parte de valor principal y un componente en frecuencia cero.

Aplicaciones

  • Modelado de señales que se encienden o apagan (electrónica, teoría de control, procesamiento de señales).
  • Definición de funciones por tramos y resolución de ecuaciones diferenciales con excitaciones que comienzan en un instante dado.
  • Uso en convoluciones y respuesta a entradas tipo escalón para sistemas lineales invariantes en el tiempo (análisis de la respuesta al escalón).

Ejemplos rápidos

  • Pulso unitario entre t=1 y t=3: p(t) = H(t-1) - H(t-3).
  • Función que coincide con f(t) solo a partir de t0: f(t)H(t-t0).
  • Respuesta de un sistema al escalón: si y(t) es la respuesta a la delta, la respuesta al escalón es ∫_{0}^{t} y(τ) dτ, lo cual equivale a convolucionar con H(t).

En resumen, la función de Heaviside es una herramienta fundamental en matemáticas aplicadas, física e ingeniería para describir discontinuidades temporales y para relacionar señales y distribuciones mediante integración y derivación en el sentido de distribuciones.