AlegsaOnline.com

Cilindro: definición, tipos, fórmulas de área y volumen

Descubre qué es un cilindro, sus tipos y las fórmulas esenciales para calcular área y volumen con ejemplos claros y pasos prácticos.

Autor: Leandro Alegsa Fecha de creación: 20 de diciembre de 2021 Última actualización: 16 de marzo de 2026

simple.wikipedia.org · CC BY-SA 3.0

Un cilindro es una de las formas geométricas tridimensionales curvas más básicas, cuya superficie está formada por los puntos situados a una distancia fija de un segmento de línea determinado, conocido como el eje del cilindro. Esta forma puede considerarse como un prisma circular. Tanto la superficie como la forma sólida creada en su interior pueden llamarse cilindro. La superficie y el volumen de un cilindro se conocen desde la antigüedad.

En geometría diferencial, un cilindro se define más ampliamente como una superficie reglada que está atravesada por una familia de líneas paralelas de un parámetro. Un cilindro cuya sección transversal es una elipse, una parábola o una hipérbola se denomina cilindro elíptico, cilindro parabólico o cilindro hiperbólico, respectivamente.

Tipos de cilindros

Cilindro circular recto: sus bases son círculos iguales y el eje es perpendicular a las bases. Es el caso más habitual en problemas y aplicaciones.
Cilindro circular oblicuo: las bases siguen siendo círculos iguales, pero el eje no es perpendicular a las bases. Las generatrices (las líneas que forman la superficie lateral) son paralelas entre sí pero inclinadas respecto a las bases.
Cilindro elíptico: la base es una elipse (semiejes a y b); es común en análisis más generales o en aplicaciones donde la base no es circular.
Cilindro hueco o tubular: tiene dos radios, uno exterior R y otro interior r; aparece en tubos y conductos.
Cilindros parabólico e hiperbólico: se definen por secciones transversales parabólicas o hiperbólicas y se usan en geometría diferencial o en ciertos modelos físicos.

Elementos y notación habitual

r: radio de la base (si es circular).
d: diámetro de la base (d = 2r).
h: altura del cilindro (distancia entre las bases medida a lo largo del eje; en un cilindro recto es perpendicular a las bases).
g o s: generatriz o longitud de las líneas que forman la superficie lateral; en un cilindro recto g = h.
C: circunferencia de la base (C = 2πr).

Fórmulas principales

Para un cilindro circular recto de radio r y altura h:

Área lateral (superficie lateral): A_l = 2π r h. (Se obtiene al "desplegar" la superficie lateral formando un rectángulo de altura h y ancho igual a la circunferencia 2πr.)
Área total: A_t = 2π r h + 2π r^2 = 2π r (h + r). (Área lateral más las dos bases circulares.)
Volumen: V = π r^2 h. (Área de la base multiplicada por la altura.)

Observaciones para otros casos:

Cilindro oblicuo con base circular: el volumen sigue siendo V = π r^2 h (la altura h es la distancia perpendicular entre las bases). La área lateral es A_l = 2π r g, donde g es la longitud de la generatriz (la arista inclinada que genera la superficie).
Cilindro elíptico: si la base es una elipse de semiejes a y b, el área de la base es πab y el volumen es V = π a b h. La lateral desplegada tiene ancho igual al perímetro de la elipse (más complejo en la práctica), pero para muchas aplicaciones se trabaja con la base y el volumen.
Cilindro hueco (tubo) de radios R (externo) y r (interno) y altura h:
- Volumen: V = π (R^2 − r^2) h.
- Área total: A_t = 2π (R^2 − r^2) + 2π (R + r) h (dos anillos en las bases más las superficies lateral interna y externa).

Ejemplo numérico

Sea un cilindro recto con r = 3 cm y h = 10 cm:

A_l = 2π r h = 2π·3·10 = 60π ≈ 188,50 cm².
A_t = 2π r (r + h) = 2π·3·13 = 78π ≈ 245,04 cm².
V = π r^2 h = π·9·10 = 90π ≈ 282,74 cm³.

Derivación y principios

La fórmula del volumen V = área de la base × altura se justifica por el principio de Cavalieri: dos sólidos con la misma altura y con secciones transversales de igual área a cada altura tienen igual volumen.
La expresión del área lateral A_l = perímetro de la base × generatriz proviene de considerar el desdoblamiento de la superficie lateral en un rectángulo cuyas dimensiones son la circunferencia de la base y la longitud de las generatrices.

Aplicaciones y datos históricos

Los cilindros aparecen en ingeniería (tubos, pistones), arquitectura (columnas), industrias (recipientes, barriles) y modelos matemáticos.
En la historia de las matemáticas, figuras como Arquímedes estudiaron relaciones entre esferas, cilindros y conos; por ejemplo, Arquímedes encontró la relación entre el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe.

Unidades y recomendaciones

Las áreas se expresan en unidades cuadradas (m², cm², etc.) y el volumen en unidades cúbicas (m³, cm³, L). Preste atención a las unidades de r y h y conviértalas si es necesario antes de aplicar las fórmulas.
Para cálculos prácticos use π ≈ 3,1416 o la constante π de la calculadora según la precisión requerida.

Uso común

En el uso común se entiende por cilindro una sección finita de un cilindro circular recto, es decir, el cilindro con las líneas generatrices perpendiculares a las bases, con sus extremos cerrados para formar dos superficies circulares, como en la figura (derecha). Si el cilindro tiene un radio $r$ y una longitud (altura) h, entonces su volumen viene dado por:

$V$ $= πr 2 h$

y su superficie es:

el área de la parte superior $(πr 2) +$
el área del fondo $(πr 2) +$
el área del lado ( $2πrh$ ).

Por lo tanto, sin la parte superior o inferior (área lateral), la superficie es:

$A$ $= 2πrh$ .

Con la parte superior e inferior, la superficie es:

$A$ $= 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)$ .

Para un volumen dado, el cilindro con la menor superficie tiene $h = 2r$ . Para una superficie dada, el cilindro con el mayor volumen tiene $h = 2r, es decir$ , el cilindro cabe en un cubo (altura = diámetro).

Volumen

Teniendo un cilindro circular recto con una altura $h$ unidades y una base de radio $r$ unidades con los ejes de coordenadas elegidos de forma que el origen esté en el centro de una base y la altura se mida a lo largo del eje x positivo. Una sección plana a una distancia de $x unidades$ del origen tiene un área de $A (x)$ unidades cuadradas donde

A ( x ) = π r 2 {\displaystyle A(x)=\pi r^{2} $A(x)=\pi r^{2}$

A ( y ) = π r 2 {\displaystyle A(y)=\pi r^{2}} $A(y)=\pi r^{2}$

Un elemento de volumen, es un cilindro recto de área de base $Aw i$ unidades cuadradas y un espesor de $Δ i x$ unidades. Así, si V unidades cúbicas es el volumen del cilindro circular recto, por sumas de Riemann

V o l u m e d e l c i n d o r = lim | | Δ → 0 | | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volumen;de;cilindro} =\lim _{|||Delta \to 0||}\más de la suma _{i=1}^{n}A(w_{i})\\NDelta _{i}x} $\mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x$

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {\displaystyle =int _{0}^{h}A(y)^{2}\Ndy} $=\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy$

= ∫ 0 h π r 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\\a, dy} $=\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy$

= π r 2 h {\\Ndice el estilo =\pi \Nde, r^{2}\Nde, h,} $=\pi \,r^{2}\,h\,$

Utilizando coordenadas cilíndricas, el volumen puede calcularse por integración sobre

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle =int _{0}^{h}\int _{0}^2\pi }\\N-int _{0}^{r}s,\N-ds,d\phi \N-dz} $=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz$

= π r 2 h {\\Ndice el estilo =\pi \Nde, r^{2}\Nde, h,} $=\pi \,r^{2}\,h\,$

Sección cilíndrica

Las secciones cilíndricas son las intersecciones de los cilindros con los planos. Para un cilindro circular recto, existen cuatro posibilidades. Un plano tangente al cilindro, se encuentra con el cilindro en una sola línea recta. Movido en paralelo a sí mismo, el plano no interseca al cilindro o lo interseca en dos rectas paralelas. Todos los demás planos intersecan al cilindro en una elipse o, cuando son perpendiculares al eje del cilindro, en un círculo.

Otros tipos de cilindros

Un cilindro elíptico, o cilindroide, es una superficie cuádrica, con la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. {\displaystyle \left({\frac {x}{a}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}\right)^{2}=1.} $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.$

Esta ecuación es para un cilindro elíptico, una generalización del cilindro circular ordinario ( $a = b$ ). Aún más general es el cilindro generalizado: la sección transversal puede ser cualquier curva.

El cilindro es una cuádrica degenerada porque al menos una de las coordenadas (en este caso $z$ ) no aparece en la ecuación.

Un cilindro oblicuo tiene las superficies superior e inferior desplazadas entre sí.

Hay otros tipos de cilindros más inusuales. Se trata de los cilindros elípticos imaginarios:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}\right)^{2}=-1} $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1$

el cilindro hiperbólico:

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}\right)^{2}=1} $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

y el cilindro parabólico:

x 2 + 2 a y = 0. {\displaystyle x^{2}+2ay=0,} $x^{2}+2ay=0.\,$

↑"MathWorld: Sección cilíndrica".

En la geometría proyectiva, un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito, lo que corresponde visualmente a un cilindro en perspectiva que parece un cono hacia el cielo.

Preguntas y respuestas

P: ¿Qué es un cilindro?

R: Un cilindro es una forma geométrica tridimensional cuya superficie está formada por puntos situados a una distancia fija de un segmento de línea determinado, conocido como el eje del cilindro. Puede considerarse como un prisma circular y tanto la superficie como la forma sólida creada en su interior pueden llamarse cilindro.

P: ¿Desde cuándo se conoce la superficie y el volumen de los cilindros?

R: La superficie y el volumen de los cilindros se conocen desde la antigüedad.

P: ¿Qué son los cilindros elípticos, parabólicos e hiperbólicos?

R: Los cilindros elípticos, parabólicos e hiperbólicos son cilindros cuya sección transversal es una elipse, una parábola o una hipérbola respectivamente.

P: ¿Cómo se define un cilindro en geometría diferencial?

R: En geometría diferencial, un cilindro se define más ampliamente como una superficie reglada que está atravesada por una familia de líneas paralelas de un parámetro.

P: ¿Qué significa que algo esté "reglado"?

R: Estar "reglado" significa que tiene líneas rectas dibujadas en él de una u otra forma.

P: ¿Existe un solo tipo de cilindro?

R: No, hay muchos tipos diferentes de cilindros, como los elípticos, los parabólicos y los hiperbólicos, todos ellos con diferentes secciones transversales.