Subconjunto (matemáticas)

Definiciones y notación

Los términos y símbolos principales asociados a los subconjuntos son:

• Subconjunto (no estricto): A ⊆ B significa ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B).
• Subconjunto propio (estricto): A ⊂ B significa A ⊆ B y A ≠ B.
• No es subconjunto: A ⊄ B indica que existe un elemento de A que no está en B.
• Superconjunto: B ⊇ A es equivalente a A ⊆ B; B ⊃ A corresponde a A ⊂ B.

Ejemplos

Los ejemplos concretos aclaran la idea. Si B = {1, 2, 3}, entonces A = {1, 2} cumple A ⊂ B, mientras que C = {1, 2, 3} cumple C ⊆ B, pero no C ⊂ B. El conjunto ∅ es subconjunto de B y de cualquier otro conjunto. Los subconjuntos pueden ser finitos o infinitos; por ejemplo, el conjunto de los enteros pares es un subconjunto de los enteros.

Propiedades y conceptos relacionados

La relación de subconjunto es reflexiva (A ⊆ A para todo A) y transitiva (si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C), por lo que constituye un orden parcial sobre la colección de todos los subconjuntos de un conjunto dado. La colección de todos los subconjuntos de un conjunto S se llama conjunto potencia de S y se denota P(S); sus elementos son precisamente los subconjuntos de S. La cardinalidad interactúa con la inclusión: si A ⊂ B, entonces |A| ≤ |B|, con desigualdad estricta cuando ambos son finitos y A ≠ B.

Usos, distinciones y observaciones

Los subconjuntos se usan en toda la matemática para formar subestructuras (subgrupos, subespacios, subórdenes), para especificar dominios y restricciones, y para razonar sobre la contención. Conviene tener presente que la notación varía: algunos autores usan ⊂ para significar subconjunto no estricto, igual que ⊆, mientras que otros reservan ⊂ para la inclusión estricta. Cuando la precisión importa, las expresiones propio o las comprobaciones explícitas de igualdad ayudan a evitar ambigüedades. Para ampliar sobre las ideas fundamentales, véanse recursos generales sobre conjuntos.