Monty Hall: explicación y solución del famoso problema de probabilidad
Monty Hall: explicación clara y solución paso a paso del famoso problema de probabilidad. ¿Conviene cambiar de puerta? Ejemplos, simulaciones y demostración matemática.
El problema de Monty Hall es un famoso problema de probabilidad (azar). El problema se basa en un programa de televisión de Estados Unidos, Let's Make a Deal. Su nombre se debe a este programa, Monty Hall.
Reglas y situación inicial
Hay tres puertas. Detrás de una de ellas hay un coche (el premio de mayor valor) y detrás de las otras dos hay cabras (premios de bajo valor). El juego sigue estos pasos:
- El jugador elige una puerta pero no la abre.
- El anfitrión, que sabe lo que hay detrás de cada puerta, abre otra puerta que contiene una cabra. (Si ambas puertas restantes tienen cabras, el anfitrión elige una de ellas; si hay una cabra y un coche, necesariamente abre la cabra).
- El anfitrión ofrece al jugador la posibilidad de quedarse con su elección inicial o cambiar a la tercera puerta que queda cerrada.
Las reglas esenciales del enunciado clásico son que el anfitrión siempre abre una puerta con una cabra y siempre ofrece la opción de cambiar.
¿Conviene cambiar?
A primera vista puede parecer que, con dos puertas cerradas, las probabilidades son 50/50; sin embargo, si se respetan las reglas anteriores, cambiar aumenta las probabilidades de ganar el coche de 1/3 a 2/3.
Explicación sencilla con casos
Al elegir inicialmente una puerta entre las tres, hay tres situaciones equiprobables:
- (Perder): El jugador elige la puerta con el coche (probabilidad 1/3). El anfitrión abre una de las dos puertas con cabra. Si el jugador cambia, pierde (obtiene una cabra).
- (Ganar): El jugador elige una cabra (probabilidad 1/3). El anfitrión abre la otra puerta que tiene cabra. Si el jugador cambia, gana el coche.
- (Ganar): El jugador elige la otra cabra (probabilidad 1/3). El anfitrión abre la primera cabra. Si el jugador cambia, gana el coche.
De los tres casos, en dos el cambio conduce al coche, por eso la probabilidad de ganar cambiando es 2/3.
Razonamiento con probabilidades condicionales
Sea A el evento "el coche está en la puerta inicialmente elegida" (P(A)=1/3). Si no cambias, ganas exactamente cuando A ocurre → probabilidad 1/3. Si cambias, ganas cuando A no ocurre (es decir, cuando la elección inicial era errónea), y P(no A) = 2/3. Por eso cambiar da probabilidad 2/3 de ganar.
Intuición alternativa (más puertas)
Una forma intuitiva es imaginar 100 puertas: eliges una (1/100). El anfitrión, que sabe dónde está el coche, abre 98 puertas con cabras y te deja tu puerta y otra cerrada. ¿Cambiarías? Sí: la puerta que queda cerrada distinta de la tuya concentra la probabilidad de que tu elección inicial fuera errónea (99/100). Esto hace evidente por qué cambiar aumenta las posibilidades.
Supuestos importantes y variantes
- Es crucial que el anfitrión sepa dónde está el coche y que siempre abra una puerta con cabra y siempre ofrezca cambiar. Si el anfitrión actúa de forma distinta (por ejemplo, abre puertas al azar o no ofrece el cambio en algunos casos), las probabilidades cambian y hay que analizar cada variante por separado.
- Si el anfitrión, cuando puede elegir entre dos cabras, selecciona aleatoriamente una puerta, el resultado del problema clásico no cambia: cambiar sigue dando 2/3.
- Si el anfitrión a veces no ofrece la opción de cambiar o podría abrir la puerta con el coche por error, la estrategia óptima depende de esas reglas adicionales.
Conclusión
En el enunciado clásico del problema de Monty Hall —anfitrión informado, abre siempre una puerta con cabra y siempre ofrece cambiar— la mejor estrategia es cambiar siempre. Con esa estrategia la probabilidad de ganar el coche es 2/3, frente a 1/3 si no se cambia.
Preguntas y respuestas
P: ¿Qué es el problema Monty Hall?
R: El problema Monty Hall es un famoso problema de probabilidad (azar) basado en un concurso de televisión de Estados Unidos, Let's Make a Deal (Hagamos un trato). Consiste en tres puertas, una de las cuales tiene un coche detrás y dos de las cuales tienen cabras detrás.
P: ¿Qué sabe el presentador?
R: El anfitrión sabe lo que hay detrás de cada puerta y siempre elige abrir una puerta con una cabra detrás.
P: ¿Cambiar las elecciones aumenta las posibilidades de conseguir el coche?
R: Sí, cambiar de elección aumenta las probabilidades de conseguir el coche de 1/3 (una de cada tres) a 2/3 (dos de cada tres).
P: ¿Cómo funciona esta probabilidad?
R: En la elección inicial de la puerta, sólo hay una probabilidad de 1/3 de que el jugador elija la puerta con el coche. A continuación, existe una probabilidad de 2/3 de que, si cambia su elección después de ver que el anfitrión abre una de las otras puertas, obtenga un coche.
P: ¿Son todas las opciones iguales en cuanto a ganar o perder?
R: No, hay tres opciones diferentes de ganar o perder dependiendo de si cambia o no su elección después de ver una de las otras puertas abiertas por el anfitrión. Si elige correctamente al principio y luego cambia su elección, perderá; si elige incorrectamente al principio pero cambia su elección después, ganará; y si elige correctamente al principio pero no cambia su elección después, también ganará.
P: ¿Es cierto que cambiar de elección aumenta sus posibilidades de ganar dos de cada tres veces?
R: Sí, es cierto que cambiar de elección aumenta sus posibilidades de ganar dos de cada tres veces.
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