Arco (geometría): definición, tipos y longitud de arco

Definición y notación

El arco determinado por dos puntos A y B en un círculo suele llamarse «arco AB». En la matemática manuscrita e impresa, esto a menudo se indica colocando una pequeña marca curva sobre las dos letras (leída como «arco AB»). Los puntos A y B también determinan la cuerda AB (el segmento recto que los une) y el ángulo central que subtiende el arco: el ángulo en el centro del círculo entre los radios dirigidos a A y B.

Propiedades y fórmulas

La longitud de un arco depende del radio r del círculo y de la medida del ángulo central θ que lo subtiende. Cuando θ se mide en radianes, la longitud del arco s viene dada por la relación sencilla s = r·θ. Si θ se da en grados, puede convertirse mediante θ (radianes) = π·θ°/180, de modo que la longitud pasa a ser s = π·r·θ°/180. La longitud del arco es proporcional al ángulo central y al radio.

Tipos y partes relacionadas

Los arcos se clasifican por su tamaño en relación con el círculo:

• Arco menor: el arco más corto entre dos puntos (ángulo central menor de 180°).
• Arco mayor: el arco más largo que conecta los mismos puntos (ángulo central mayor de 180°).
• Semicírculo: un arco determinado por extremos diametralmente opuestos (ángulo central de 180°).

Otras regiones relacionadas incluyen el sector circular (el área limitada por dos radios y el arco) y el segmento circular (la región entre un arco y su cuerda).

Historia y aplicaciones

Los arcos son fundamentales en la geometría clásica y la trigonometría, estudiadas desde la antigua matemática griega como parte de la teoría de los círculos. Hoy aparecen en la ingeniería, la arquitectura, los gráficos por computadora y la navegación: los arcos modelan vigas y arcos curvos, definen trayectorias para engranajes y ruedas, y se usan en herramientas de dibujo y CAD. Los cálculos prácticos suelen emplear la relación s = r·θ o una aproximación numérica cuando las formas no son círculos perfectos.

Datos y distinciones notables

Al tratar la longitud de un arco, es importante especificar la unidad y la medida del ángulo. El mismo par de extremos determina dos arcos distintos (menor y mayor) salvo que sean los extremos de un diámetro. En el estudio formal de curvas más allá de los círculos, el término «arco» puede referirse a cualquier segmento de curva continua, pero en la geometría euclidiana estándar suele significar un arco circular. Para más información sobre el círculo y construcciones relacionadas, véase círculo.